Три кризиса в развитии математики

Демокрит (около 560–570 гг. до н. э.), по-видимому, изучал так называемые роговидные углы (углы, образуемые дугой окружности и касательной к ней). Поскольку каждый роговидный угол “меньше” любого прямолинейного угла, здесь появляется понятие актуально бесконечно малого. Впоследствии появилось и понятие актуальной бесконечности. Аристотель (384–322 гг. до н. э.) отчетливо различает два вида бесконечности: потенциальную и актуальную. Понятие актуальной бесконечности в древней Греции не получило развития как в философии, так и в математике. Математики считали, что “целое больше любой своей части” и, тем самым, по существу, исключали актуальную бесконечность. Философы (Аристотель, например) доказывали противоречивость понятия актуальной бесконечности и тем самым поддерживали математиков. Понятие бесконечности подвергалось серьезной критике со стороны Зенона Элейского (около 490–430 гг. до н. э.). Зенон был учеником Парменида, главы элейской школы. Парменид утверждал, что бытие едино, неподвижно и неизменно. Движение, изменение — это только видимость, обусловленная несовершенством наших органов чувств. Мир (бытие) может быть познан только разумом, но не чувствами. Зенон Элейский выдвинул 45 апорий (антиномий), имея при этом целью развить и лучше обосновать учение Парменида. Из этих антиномий до нашего времени дошло только 9. Вот наиболее характерные из них. Против движения. “Дихотомия”. Движения нет, потому что то, что движется, должно дойти до середины, прежде чем оно дойдет до конца. Но если бы тело дошло до середины, оно должно было бы раньше дойти до середины этой середины и т. д. до бесконечности, а это невозможно. Таким образом движение не может начаться. “Ахиллес и черепаха”. Медленный в беге никогда не будет перегнан быстрым, потому что тот, кто преследует, должен сначала достичь точки, из которой начал убегающий, так что убегающий всегда будет на некотором расстоянии впереди. Заслуга Зенона Элейского в развитии философии и математики состоит в том, что он выявил реальную противоречивость времени, движения и пространства, а значит и бесконечность. В. И. Ленин писал, что Зенон не отрицал чувственную достоверность движения; его интересовал вопрос, как выразить сущность движения в логике понятий. Однако, Зенон последнюю задачу не решил, не решили её и другие ученые древней Греции. 3. Три знаменитых задачи древности В развитии содержания и способов обоснования математики древней Греции выдающуюся роль сыграли три задачи: трисекция угла, удвоение куба (делийская задача) и квадратура круга. Пробуждение особого интереса к этим задачам именно в древней Греции не случайно. При построении математики как дедуктивной системы, базирующейся на геометрическом фундаменте две первые задачи появляются как естественные обобщения более элементарных задач. Задача о квадратуре круга была получена “по наследству” от древних египтян и вавилонян. Трисекция угла. Дан (АВС, требуется разделить его на три равные части. Формулировка задачи относится к любому углу и является обобщением задачи о делении данного угла на две равные части. Рис. 2 Удвоение куба. Построить куб, объем которого в два раза больше объема данного куба.

По содержанию — открытие новых математических фактов. По форме — построение геометрии и арифметики как теоретических, доказательных наук, изучающих свойства отвлеченных понятий о числах и геометрических формах. Дедуктивное построение геометрии явилось мощным стимулом её дальнейшего роста. Пифагорейцы развили и обосновали планиметрию прямолинейных фигур: учение о параллельных линиях, треугольниках, четырехугольниках, правильных многоугольниках. Получила развитие элементарная теория окружности и круга. Наличие у пифагорейцев учения о паралельных линиях говорит о том, что они владели методом доказательства от противного и впервые доказали теорему о сумме углов треугольника. Вершиной достижений пифагорейцев в планиметрии является доказательство теоремы Пифагора. Последняя за много столетий раньше была сформулирована вавилонскими, китайскими и индийскими учеными, однако её доказательство им не было известно. Успехи пифагорейцев в стереометрии были значительными. Они занимались изучением свойств шара, открыли построение четырех правильных многоугольников — тетраэдра, куба, октаэдра и додекаэдра (икосаэдр исследовал впоследствии Геэтет). Однако они не смогли обосновать утверждения, относящиеся к объемам тел (пирамиды, конуса, цилиндра и шара), хотя, конечно, эти утверждения были установлены эмпирически много веков раньше. Не знали пифагорейцы и отношения поверхности шара к большому кругу. В области арифметики пифагорейцы изучали свойства четных и нечетных, простых и составных натуральных чисел, искали совершенные числа, т. е. такие, которые равны сумме всех своих делителей (например, 6=1 2 3; 28=1 2 4 7 14). По видимому, они установили, что если число 2п–1 является простым, то число 2п–1((2п–1) — совершенное. Пифагорейцы знали также дробные числа и в этой связи разработали теорию арифметической и геометрической пропорций. Они владели понятиями среднего арифметического, среднего геометрического и среднего гармонического. Как ни велики заслуги пифагорейцев в развитии содержания и систематизации геометрии и арифметики, однако все они не могут сравниться со сделанным ими же открытием несоизмеримых величин. Это открытие явилось поворотным пунктом в истории античной математики. По поводу этого открытия Аристотель говорил, что Пифагор показал, что если бы диагональ квадрата была бы соизмерима с его стороной, то четное равнялось бы нечетному. Рис. 1 Это замечание Аристотеля ясно показывает, что при доказательстве несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной Пифагор использовал метод от противного (рис. 1). Пусть, действительно, диагональ АВ соизмерима со стороной АС квадрата АСВД. Тогда можно считать несократимой (иначе её можно было бы сократить); значит, р или q будет числом нечетным. Примем АС=1. По теореме Пифагора должно быть: , т. е. р2 делится нацело на 2; следовательно и р также делится нацело на 2: р=2р1, где р1 — некоторое натуральное число. Аналогично получаем: q=2q1, где q1 также некоторое натуральное число. Итак, р и q — оба четные числа. Поскольку р или q — число нечетное, выходит, что четное число равно нечетному числу. В конце V века до н. э. Феодор из Кирены установил, что несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной не является исключением.

Как мы видим, подход математиков в XVIII веке к выяснению границ приложимости методов математики и трактовка её принципов были явно метафизическими. В XVIII веке доказательство теорем математического анализа нередко проводили, опираясь на господствовавшие тогда механические и геометрические представления. Начало широкому использованию механических представлений как базы математического анализа положил Ньютон в своем учении о флюентах и флюксиях. Что же касается указанного использования геометрических представлений, то проще всего выяснить суть дела на следующем примере. В наше время теорема о прохождении непрерывной функции через нулевое значение доказывается в классическом математическом анализе чисто аналитически с использованием понятия бесконечного множества. В XVIII веке если эта теорема и доказывалась, то чаще всего указанием на то, что непрерывная кривая f(x), соединяющая точки А и В, расположенные в плоскости по разные стороны оси ОХ, существует по меньшей мере одна точка с абсциссой х=с, a

Детская (возрастная) психология

Курс математики в средней школе и методика преподавания

Скрытый гипноз. Практическое руководство

Связь математики с другими учебными дисциплинами (мировоззренческий аспект)

История Востока. Том 2

Числа Фибоначчи: технический анализ

Понятие парадигмы и логика научных революций в концепции Т.Куна

Развитие России в конце 19 века

Потребительская кооперация России

Денежно-кредитная политика государства

Госэкзамены ответы

Возрастные кризисы в период раннего и дошкольного детства

Регионально-экологические проблемы в России и странах СНГ

Кризисы 1998 и 2008 в России, их сходства и различия

География тепловой электроэнергетики России

Высокое Возрождение Италии XVI века

Россия в мировой истории

Социальная информатика