Теорема Пифагора и способы ее доказательства

Несмотря на все это, имя Пифагора столь прочно сплавилось с теоремой Пифагора, что сейчас просто невозможно представить, что это словосочетание распадется. То же относится и к легенде о заклании быков Пифагором. Да и вряд ли нужно препарировать историко-математическим скальпелем красивые древние предания. Сегодня принято считать, что Пифагор дал первое доказательство носящей его имя теоремы. Увы, от этого доказательства также не сохранилось никаких следов. Я рассмотрю некоторые классические доказательства теоремы Пифагора, известные из древних трактатов. Сделать это полезно еще и потому, что в современных школьных учебниках дается алгебраическое доказательство теоремы. При этом бесследно исчезает первозданная геометрическая аура теоремы, теряется та нить Ариадны, которая вела древних мудрецов к истине, а путь этот почти всегда оказывался кратчайшим и всегда красивым. Итак, Теорема Пифагора. Биография Пифагора. Великий ученый Пифагор родился около 570 г. до н.э. на острове Самосе. Отцом Пифагора был Мнесарх, резчик по драгоценным камням. Имя же матери Пифагора не известно. По многим античным свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и свои незаурядные способности. Среди учителей юного Пифагора традиция называет имена старца Гермодаманта и Ферекида Сиросского (хотя и нет твердой уверенности в том, что именно Гермодамант и Ферекид были первыми учителями Пифагора). Целые дни проводил юный Пифагор у ног старца Гермодаманта, внимая мелодии кифары и гекзаметрам Гомера. Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. И, будучи признанным мудрецом, окруженным толпой учеников, Пифагор начинал день с пения одной из песен Гомера. Ферекид же был философом и считался основателем италийской школы философии. Таким образом, если Гермодамант ввел юного Пифагора в круг муз, то Ферекид обратил его ум к логосу. Ферекид направил взор Пифагора к природе и в ней одной советовал видеть своего первого и главного учителя. Но как бы то ни было, неугомонному воображению юного Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком Самосе, и он отправляется в Милет, где встречается с другим ученым - Фалесом. Фалес советует ему отправится за знаниями в Египет, что Пифагор и сделал. В 548 г. до н.э. Пифагор прибыл в Навкратис – самосскую колонию, где было у кого найти кров и пищу. Изучив язык и религию египтян, он уезжает в Мемфис. Несмотря на рекомендательное письмо фараона, хитроумные жрецы не спешили раскрывать Пифагору свои тайны, предлагая ему сложные испытания. Но влекомый жаждой к знаниям, Пифагор преодолел их все, хотя по данным раскопок египетские жрецы не многому могли его научить, т.к. в то время египетская геометрия была чисто прикладной наукой (удовлетворявшей потребность того времени в счете и в измерении земельных участков). Поэтому, научившись всему, что дали ему жрецы, он, убежав от них, двинулся на родину в Элладу. Однако, проделав часть пути, Пифагор решается на сухопутное путешествие, во время которого его захватил в плен Камбиз, царь Вавилона, направлявшийся домой. Не стоит драматизировать жизнь Пифагора в Вавилоне, т.к. великий властитель Кир был терпим ко всем пленникам. Вавилонская математика была, бесспорно, более развитой (примером этому может служить позиционная система исчисления), чем египетская, и Пифагору было чему поучится. Но в 530 г. до н.э. Кир двинулся в поход против племен в Средней Азии.

Философия

В философии XX века начинает складываться образ диалектики, далекий от классического: вместо логики самодвижения Абсолюта диалектика становится выражением смысловой направленности человеческой жизни во всей ее противоречивости. 433 Познание: возможности и границы Сознание и познание Человек отличается от любого другого живого существа уже тем, что способен осознавать бытие: способен в субъективной форме воспроизводить мир предметов, состояний, процессов, а также свое отличие от данных ему, находящихся перед ним объектов. Особенностям субъективного освоения человеком внешнего мира посвящен такой раздел философии, как гносеология (греч. gnosis - познание), теория познания. В современных исследованиях практикуется использование другого, практически равноценного термина при обозначении круга проблем, связанных с теорией познания, - эпистемологии (греч. episteme - знание). Основной круг вопросов теории познания - истина и способы ее доказательства, многообразие форм познавательной деятельности, структура познавательного процесса, методы познания ... »

Анализ сочинения Цицерона "Тускуланские Беседы"

В них рассматривается вопрос возможно ли в различных тяжелых положениях и обстоятельствах жизни сохранить душевное спокойствие и свободу от страха, боли, огорчения и других душевных расстройств, которые более всего возмущают человеческое счастье. Цицерон был убежден, что философия вполне может оградить человека от всего этого и исполнение этой цели считал ее главной задачей. Трактат состоит из пяти книг: I. О презрении к смерти. II. О перенесении боли. III. Об утешении в горе. IV. О страстях. V. О самодовлеющей добродетели. Его литературная форма отлична от предыдущих произведений. Трактат построен по образцу докладов или лекций перед слушателями. "Лектор" отвечает на вопросы, поставленные этими слушателями или даже им самим, часто опровергая выдвинутые для обсуждения основные тезисы. Слушатель ставит тезис, "учитель опровергает его и излагает свое мнение, причем слушатель лишь иногда вставит замечание, чтобы вызвать или растолкование неясного, или рассмотрение незатронутой стороны вопроса. Подобная форма диспутов использовалась уже и Карнеадом и Филоном. (Сам Цицерон именует эту форму греческим термином "школа" ). Основная проблема "Тускуланских бесед" - проблема "эвдемонии", т. е. счастливой жизни и способов ее достижения. открыть »

Живой учебник геометрии

Найти площадь земельного участка. Р е ш е н и е. Линейные размеры обеих фигур (участка и плана) относятся как 500:1. Значит отношение площадей 500: 1 = 250 000. Отсюда площадь участка 78 250000 = = 19 000 000 кв. см = 1900 кв. метров. XII. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ § 71. Соотношение между сторонами прямоугольного треугольника Предварительные упражнения 1) В прямоугольном треугольнике ABCпроведена (черт. 206) высота BD. Какие углы в треугольниках АВD и АВС равны? Какие углы равны в треугольниках BCDи АВС? 2) Покажите на черт. 206 все подобные треугольники. До сих пор мы знали следующие два соотношения сторон в прямоугольном треугольнике: то, что сумма двух его сторон больше третьей (это верно и для всякого треугольника) и то, что гипотенуза длиннее каждого из катетов. Установим теперь третье соотношение, имеющее широкое применение, на практике. Оно состоит в том, что если возвысить длины катетов в квадрат и сложить полученные числа, то результат будет равен квадрату длины гипотенузы. Короче это можно высказать так: с у м м а к в а д р а т о в к а т е т о в р а в н а к в а др а т у г и п о т е н у з ы ... »

История Русской Церкви

Так в лучших русских умах около середины XVII в. оживилась замиравшая мысль о вселенской церкви, обнаруживавшаяся у патриарха Никона нетерпеливой и порывистой деятельностью, направленной к обрядовому сближению русской церкви с восточными церквями. Как сама эта идея, так и обстоятельства ее пробуждения и особенно способы ее осуществления вызвали в русском церковном обществе страшную тревогу. Мысль о вселенской церкви выводила это общество из его спокойного религиозного самодовольства, из национально- церковного самомнения. Порывистое и раздраженное гонение привычных обрядов оскорбляло национальное самолюбие, не давало встревоженной совести одуматься и переломить свои привычки и предрассудки, а наблюдение, что латинское влияние дало первый толчок этим преобразовательным порывам, наполнило умы паническим ужасом при догадке, что этой ломкой родной старины двигает скрытая злая рука из Рима. Церковная буря, поднятая Никоном, далеко не захватила всего русского церковного общества. Раскол начался среди русского духовенства, и борьба в первое время шла собственно между русской правящей иерархией и той частью церковного общества, которая была увлечена оппозицией против обрядовых новшеств Никона, проводимой агитаторами из подчиненного белого и черного духовенства. открыть »

Искусство спора

Следовательно, в то время, как 1) в результате удачного спора из-за истинности мысли мы приходим к выводу: эта мысль — истина или эта мысль ошибочна. 2) в результате удачного спора из-за доказательства мысли получаем вывод: эта мысль не оправдана нашими противниками или эта мысль не опровергнута нашими противниками. Различие в задачах спора здесь огромное. Ведь если противник опровергнул наше доказательство тезиса, одно это еще вовсе не значит, что наш тезис ложен. Просто, мы, может быть, не сумели его доказать. Это бывает в спорах и вообще при доказательствах нередко. Учитель может легко сокрушить доказательство Пифагоровой теоремы, изобретенное гимназистом «по вдохновению» в грозный час у классной доски. Но теорема Пифагора от этого ничуть не поколеблется. Учитель поставит «кол» за неуменье доказать ее, а ученик, может быть, ознакомится с «настоящим» доказательством и только. Точно так же если противник опровергает нашу мысль, но неудачно, и мы разбили его опровержение в пух и прах, одно это еще не значит, что тезис наш истинен ... »

Основные направления тактики действий внутренних войск по опыту Чеченской Республики

Кроме того, как показывает опыт использования формирований подобного типа развитыми государствами, они характеризуются высокой эффективностью действий и перспективностью применения. Для создания ОГВ (с) потребуется решить ряд важных вопросов: - определение достаточного и сбалансированного ее состава; - выбор целесообразного способа ее создания; - установление перечня и определение содержания мероприятий по ее созданию, а также порядка и последовательности их выполнения к установленному времени; - определение порядка организации правления разнородными войсками и разноведомственными формированиями, взаимодействия между ними, а также всестороннего обеспечения. Применение войск в существующей организационно-штатной структуре со штатным вооружением и традиционных формах в некоторых случаях может привести к большим жертвам среди мирного населения, значительным разрушениям и экологическим катастрофам. Это вызывает необходимость установления определенных ограничений по составу войск, а также оснащения их высокоточными средствами поражения и оружием нелетального действия. открыть »

Развитие и взаимное влияние математики, философии и искусства

Видное место отводилось изучению связей между четными и нечетными числами. В области геометрических знаний внимание акцентируется на наиболее абстрактных зависимостях. Пифагорейцами была построена значительная часть планиметрии прямоугольных фигур; высшим достижением в этом направлении было доказательство теоремы Пифагора, частные случаи которой за 1200 лет до этого приводятся в клинописных текстах вавилонян. Греки доказывают ее общим образом. Некоторые источники приписывают пифагорейцам даже такие выдающиеся результаты, как построение пяти правильных многогранников. Числа у пифагорейцев выступают основополагающими универсальными объектами, к которым предполагалось свести не только математические построения, но и все многообразие действительности. Физические, этические, социальные и религиозные понятия получили математическую окраску. Науке о числах и других математических объектах отводится основополагающее место в системе мировоззрения, то есть фактически математика объявляется философией. Как писал Аристотель, “.у чисел они усматривали, казалось бы, много сходных черт с тем, что существует и происходит, - больше, чем у огня, земли и воды. открыть »

Логика. Формальная или диалектическая?

Но это убеждение математиков на деле является их с у щ е с т в е н н ы м з а б л у ж д е н и е м. При доказательстве или решении они (математики, ученые) незаметно для всех, в том числе и для себя, позволяют себе ""перейти границу"", т. е. непременно нарушают категорический запрет формальной логики, взрывают ее принцип. "Они не сознают этого, но они это делают". Еще раз внимательно рассматриваем математическое доказательство теоремы Пифагора и анализируем его, мы на конкретном окунаемся в "бесконечный процесс раскрытия новых сторон, отношений e c. бесконечный процесс углубления познания человеком вещи, явлений, процессов и т. д. от явлений к сущности и от менее глубокой к более глубокой сущности". Мы не сомневаемся в доказательстве теоремы Пифагора и его выводе, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Мы категорически, существенно не согласны с тем, что математическое доказательство теоремы Пифагора опирается на основные законы формальной логики. В этом суть! Мы сомневаемся в последовательности хода доказательства ( и не только теоремы Пифагора) математиков. Они скрыли, утаили от нас мелочь, но мелочь существенную, точнее, они скрали, скостили от нас (и более всего от себя) существенный отрезок доказательства (фактически упустили суть дела). открыть »

Великая теорема Ферма

Я нашёл поистине удивительное доказательство этого предположения, но здесь слишком мало места, чтобы его поместить». Это положение Ферма теперь формулируется как теорема в следующем виде: «Уравнение x y = z не может быть решено в рациональных числах относительно x, y и z при целых значениях показателя , больших 2» (общеизвестно, что при =2 такие числа существуют, например, 3, 4, 5 – числа, которые, если являются длинами сторон, образуют знаменитый треугольник Пифагора). Справедливость этой теоремы подтверждается для многих частных случаев (при этом ещё не найдено ни одного опровержения), однако до сих пор она не доказана в общем виде, хотя ей интересовались и её пытались доказать многие крупные математики (в «Истории теории чисел» Диксона прореферировано более трёхсот работ на эту тему). В 1907 году в городе Дармштадте в Германии умер математик Вольфскель, который завещал 100000 марок тому, кто даст полное доказательство теоремы. Немедленно сотни и тысячи людей, движимых одним лишь стремлением к наживе, стали бомбардировать научные общества и журналы своими рукописями, якобы содержащими доказательство теоремы Ферма. открыть »

О взаимосвязи философии и математики

Вероятно, в деятельности Пифагора и его ближайших учеников научные положения были перемешаны с мистикой, религиозными и мифологическими представлениями. Вся эта «мудрость» излагалась в качестве изречений оракула, которым придавался скрытый смысл божественного откровения. Основными объектами научного познания у пифагорейцев были математические объекты, в первую очередь числа натурального ряда (вспомним знаменитое «Число есть сущность всех вещей»). Видное место отводилось изучению связей между четными и нечетными числами. В области геометрических знаний внимание акцентируется на наиболее абстрактных зависимостях. Пифагорейцами была построена значительная часть планиметрии прямоугольных фигур; высшим достижением в этом направлении было доказательство теоремы Пифагора, частные случаи которой за 1200 лет до этого приводятся в клинописных текстах вавилонян. Греки доказывают ее общим образом. Некоторые источники приписывают пифагорейцам даже такие выдающиеся результаты, как построение пяти правильных многогранников. открыть »

Взаимосвязь математики и философии

Видное место отво- дилось изучению связей между четными и нечетными числами. В области геометрических знаний внимание акцентируется на наиболее абстрактных зависимостях. Пифагорейцами была построена значительная часть плани- метрии прямоугольных фигур; высшим достижением в этом направлении было доказательство теоремы Пифагора, частные случаи которой за 1200 лет до этого приводятся в клинописных текстах вавилонян. Греки дока- зывают ее общим образом. Некоторые источники приписывают пифагорей- цам даже такие выдающиеся результаты, как построение пяти правильных многогранников. Числа у пифагорейцев выступают основополагающими универсальными объектами, к которым предполагалось свести не только математические построения, но и все многообразие действительности. Физические, эти- ческие, социальные и религиозные понятия получили математическую ок- раску. Науке о числах и других математических объектах отводится ос- новополагающее место в системе мировоззрения, то есть фактически ма- тематика объявляется философией. Как писал Аристотель, ".у чисел они усматривали, казалось бы, много сходных черт с тем, что сущест- вует и происходит, - больше, чем у огня, земли и воды. открыть »

Как победить в споре

Задача полемиста состоит в том, чтобы проанализировать ход рассуждения оппонента и показать отсутствие в изложении действительной логической связи. Выше указанные способы критики – опровержение доводов и опровержение демонстрации – разрушают структуру доказательства, показывают необоснованность тезиса, однако самого тезиса не опровергают. В споре нередко бывает такая ситуация: тезис сам по себе правильный, но человек, выдвинувший его, не может подобрать для его доказательства истинные аргументы. Иногда он просто не располагает достаточными доводами. В книге С. И. Поварнина «Спор. О теории и практике спора» есть такое рассуждение: «Учитель может легко сокрушить доказательство теоремы Пифагора, изобретенное гимназистом «по вдохновению», в грозный час у классной доски. Но теорема Пифагора от этого ничуть не поколеблется. Учитель поставит «кол» за неумение доказать её, а ученик, может быть, ознакомится с «настоящим» доказательством и только. Точно так же, если противник опровергает нашу мысль, но неудачно, и мы разбили его опровержение в пух и прах, одно это еще не значит, что тезис наш истинен. открыть »

История развития начертательной геометрии

Время и место возникновения геометрии не установлено. Потребность в построении изображений по законам геометрии (проекционных чертежей, "projecere"- бросать вперед) возникла из практических задач строительства сооружений, укреплений, пирамид и т.д.), а на позднем этапе - из запросов машиностроения и техники. Относительно точные сведения об уровне геометрических знаний в Древнем Египте сообщает папирус Ахмеса (измерение земельных участков, вычисление пирамид). Основателем геометрии в Греции считают финикиянина Фалеса Милетского, получившего образование в Египте (ок. 624-547гг. до н.э.). Он основал школу геометров, которая положила начало научной геометрии. Ученику Фалеса Пифагору Самосскому (ок. 580-500гг. до н.э.)принадлежат первые открытия в геометрии: теория несоизмеримости некоторых отрезков, например, диагонали квадрата с его стороной, теория правильных тел, теорема о квадрате гипотенузы прямоугольного треугольника. Преемник Пифагора Платон (427-347гг. до н.э.) ввел в геометрию аналитический метод, учение о геометрических местах и конические сечения. Существовавшая до сих пор элементарная геометрия была расширена и ее назвали трансцендентной. открыть »

Ассимиляция наукой древних знаний: личное бессмертие

Это – науко- и капиталоёмкая, воспроизводимая технология человеческого счастья. Эти ценности золотого миллиарда являются гарантом занятости огромного количества людей, возможно, в него не входящих. Дополнением к этому направлению служат технологии замены внутренних органов. Однако это не бессмертие, а только продление жизни. Бессмертие как таковое в рамках научного мировоззрения может быть только символическим. Пифагор достиг бессмертия в своей теореме, Гёте – в поэзии, Моцарт – в музыке и т.д. Научное бессмертие – это символическое бессмертие человеческой культуры, это бессмертие вдохновения её творцов, воплощённого в формах культуры. Другого бессмертия наука не знает. Одной биологии, эмбриологии, генетики, даже представленных самыми современными технологиями, для достижения личного бессмертия недостаточно. Остаётся некая технологически не схватываемая тонкость, т.е. собственно человек. Душой же, сознанием, личностью человека в их продолжении за пределы существования данного тела занимались великие религиозные традиции с самого своего основания, древние традиции веры и знания. открыть »

Теорема Пифагора

Сегодня теорема Пифагора обнаружена в различных частных задачах и чертежах: и в египетском треугольнике в папирусе времен фараона Аменемхета первого (ок. 2000 до н.э.), и в вавилонских клинописных табличках эпохи царя Хаммурапи (XVIII в. до н.э.), и в древнеиндийском геометрическо-теологическом трактате VII —V вв. до н.э. “Сульва сутра” (“Правила веревки”). В древнейшем китайском трактате “Чжоу-би суань цзинь”, время создания которого точно не известно, утверждается, что в XII в. до н. э. китайцы знали свойства египетского треугольника, а к VI в. до н.э.—и общий вид теоремы. Несмотря на все это, имя Пифагора столь прочно сплавилось с теоремой Пифагора, что сейчас просто невозможно представить, что это словосочетание распадется. То же относится и к легенде о заклании быков Пифагором. Да и вряд ли нужно препарировать историко-математическим скальпелем красивые древние предания. Сегодня принято считать, что Пифагор дал первое доказательство носящей его имя теоремы. Увы, от этого доказательства также не сохранилось никаких следов. Я рассмотрю некоторые классические доказательства теоремы Пифагора, известные из древних трактатов. открыть »

Естественно-научная картина мира

Становлению математических концепций в научных исследованиях способствовало логико-теоретическое развитие Платоном (428 или 427 до н. э. - 348 или 347, древнегреческий философ, ученик Сократа, около 387 г. основал в Афинах школу - Платоновскую Академию) учения пифагорейцев о том, что «все есть число», а мир объясняется едиными законами чисел. И здесь единство природы находило свое отражение в единстве знаний о ней. Пифагор Самосский (6 в. до н. э.), древнегреческий философ, религиозный и политический деятель, основатель пифагореизма, математик, которому приписывается изучение свойств целых чисел и пропорций, доказательство теоремы Пифагора и др., основал целую школу, пифагореизм, религиозно-философское учение, исходившее из представления о числе как основе всего существующего. Числовые соотношения, учит он, источник гармонии космоса, структура которого мыслится как природно-математическое единство. Пифагореизм внес значительный вклад в развитие математики, астрономии (утверждение о шарообразности Земли) и акустики. открыть »

Античная философия: ее основные черты, направления и представители.

Ряд источников приписывает этому ученому и философу различные сверхъестественные способности, другие авторы прямо обвиняют его в фабрикации подобных «чудес». Пифагор, равно как и его последователи, разделял веру в метемпсихоз (переселение душ) и даже якобы знал о своих прошлых воплощениях, первым из которых был сын бога Гермеса Эфиальт. Выделяя себя из массы людей, Пифагор считал, что на свете, кроме богов и людей, есть еще и «подобные Пифагору», происходящие из семени лучшего, чем человеческое. Главное в учении Пифагора — субстанциональность числа, которое управляет как материальной, так и духовной сферой, включая сюда даже нравственность. Душа, по мнению пифагорейцев, — гармония, — также числовое отношение. Этот вывод был сделан Пифагором на основе собственных эмпирических наблюдений за связью между весом кузнечного молота и высотой звука, производимого им при ударе о наковальню. Пифагор слывет великим математиком, много сделавшим для превращения этой науки из эмпирической в теоретическую. Ему приписывается доказательство «теоремы Пифагора» и открытие явления несоизмеримости. открыть »

Остров Самос — Родина Пифагора

То же относится и к легенде о заклании быков Пифагором. Сегодня принято считать, что Пифагор дал первое доказательство носящей его имя теоремы. Увы, от этого доказательства также не сохранилось никаких следов. Доказательство: Теорема Пифагора. Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах. открыть »