Вклад Л.Эйлера в развитие математического анализа

В 1696, используя лекции И. Бернулли, Лопиталь написал первый учебник3, излагавший новый метод в применении к теории плоских кривых. Он назвал его «Анализ бесконечно малых», дав тем самым и одно из названий новому разделу математики. В основу изложения положено понятие переменных величин, между которыми имеется некоторая связь, из-за которой изменение одной влечёт изменение другой. У Лопиталя эта связь даётся при помощи плоских кривых: если M - подвижная точка плоской кривой, то её декартовы координаты x и y, именуемые диаметром и ординатой кривой, суть переменные, причём изменение x влечёт изменение y. Понятие функции отсутствует: желая сказать, что зависимость переменных задана, Лопиталь говорит, что «известна природа кривой». Понятие дифференциала вводится так: «Бесконечно малая часть, на которую непрерывно увеличивается или уменьшается переменная величина, называется ее дифференциалом Для обозначения дифференциала переменной величины, которая сама выражается одной буквой, мы будем пользоваться знаком или символом d.4 - ci e o e-4#ci e o e-4 Бесконечно малая часть, на которую непрерывно увеличивается или уменьшается дифференциал переменной величины, называется вторым дифференциалом».5 Эти определения поясняются геометрически, при этом на рисунке бесконечно малые приращения изображены конечными. Рассмотрение опирается на два требования (аксиомы). Первое: Требуется, чтобы две величины, отличающиеся друг от друга лишь на бесконечно малую величину, можно было брать безразлично одну вместо другой. 6 Отсюда получается x dx = x, далее dxy = (x dx)(y dy) см. также: Маркушевич А. И. Элементы теории аналитических функций. М., 1944. C. 16-17.

Бытие и ничто: Опыт феноменологической онтологии

Сартра // Вопросы философии. 1994, И. С. 179. 33 Маркс К., Энгельс Ф. Соч. Т. 8. С. 119. 34 Sartre J.-P. Critique de la raison dialectique, 1.1. Paris, 1960. P. 369. 35 Ibid. P. 638. 36 Ibid. P. 16. 37 Garaudy R. Perspectives de l'homme. Paris, 1961. P. 112. 38 Sartre У.-P. Critique de le raison dialectique, t. 1. P. 165. 39 Mounier E. Introduction aux existentialismes. Paris, 1947. P. 90. 40 Sartre J.-P. Critique de le raison dialectique, t L P. 37. 41 Modera Concepts of Existentialism. Jevaskylo, 1993. P. 48. 42 Кастор, или Кастором (имя одного из близнецов в древнегреческой мифологии), Сартр называл спутницу своей жизни и единомышленницу, писательницу Симону де Бовуар (19081986). 43 Перевод Главы 1 осуществлен при участии М. А. Кисселя. Ред. 44 явление (нем.). Ред. 45 состояние (греч.). Ред. 46 Пуанкаре Жюлъ Анри (18541912) французский математик, физик и философ; внес значительный вклад в развитие математической физики, теории дифференциальных уравнений, комбинаторной топологии и др. Его гносеологическая концепция является конвенционализмом ... »

Звездный сфинкс: Космические тайны пирамид

Анна-Софи Бомард первой из ученых посчитала необходимым обратить внимание египтологов, что древние египтяне были "искусными наблюдателями за природой" и что они обращали особое внимание на движение небесных тел. В целом египтологи согласны с ней. Однако они подчеркивают, что одно дело наблюдать за небом, а совсем другое - тщательно изучать и записывать его циклы. Для этого нужно быть астрономом, а вплоть до четвертого века до н. э., когда в Египет пришли греки, в стране не существовало серьезной астрономической науки, настаивают египтологи. По мнению одного из таких экспертов, египтяне "свои знания о знаках Зодиака, а также многое другое… позаимствовали у греков", а другой утверждает, что "Египет не внес никакого вклада в развитие математической астрономии"[14]. Может быть, в таком пренебрежительном отношении к египетским звездочетам виновато укоренившееся мнение, что всей наукой и философией мы обязаны грекам? Даже если не принимать во внимание предвзятость, в этой аргументации есть серьезный изъян. Египтологи утверждают, что египтяне получили знания по астрономии от греков, тогда как сами греки говорят об обратном ... »

Методика преподавания темы "Элементы логики" в курсе математики 5-6 классов

Так, на стыке математической логики и алгебры возникла теория моделей. Были созданы многочисленные новые неклассические логические системы. Немалый вклад в развитие математической логики внесли и советские математики Н. А. Васильев, И. И. Жегалкин, А. Н. Колмогоров, П. С. Новиков, А. А. Марков, А. И. Мальцев, С. А. Яновская. Кроме того, в XX веке началось глубокое проникновение идей и методов математической логики в технику, кибернетику, вычислительную математику, структурную лингвистику. Анализ учебной литературы. В процессе обучения школьников математике большую роль играет учитель, но немаловажное значение имеет и учебник или то учебное пособие, с которым ученик имеет возможность самостоятельно поработать, либо повторить пройденное. В настоящее время не все учебники содержат материал, который познакомил бы учеников с элементами логики в полной мере. В ныне существующих учебниках рассматриваются вопросы, связанные с высказываниями и их равносильными преобразованиями. В основном, это одно или двуместные высказывания. Здесь изучаются уравнения, тождества, тождественно равные выражения, неравенства, системы уравнений и неравенств, а также их свойства. открыть »

Альберт Эйнштейн

Долю вины, впрочем, надо возложить на Минковского. Он сделал важный вклад в развитие математического аппарата теории. Физическое значение этого аппарата огромно. Но что касается натурфилософских воззрений моего покойного профессора, то нельзя не почувствовать в них весьма определенного привкуса. Минковский придавал четырехмерному континууму[42] самостоятельную реальность. В своей знаменитой речи 12 сентября 1908 года на съезде натуралистов в Кёльне он торжественно провозгласил конец отдельному существованию пространства и времени. «Отныне,P так заканчивалась эта речь,P пространство и время, как самостоятельные сущности, превращаются в тени, и только их соединение приобретает право на реальность!» Между тем этого Минковский не мог или не хотел понять существование континуума нисколько не означает обезличивания времени, как особой физической реальности. Рассматривая время как четвертую координату, равноценную координатам пространства, Минковский приходил к выводам, против которых протестует не только обыденный здравый смысл (это еще куда ни шло), но и живая физическая действительность ... »

Воспитание в древней Греции

Для эллинистической культуры характерно её греческое оформление и глубокие местные традиции. В этот период получил широкое распространение в эллиническом мире общегреческий язык - койне, ставший средством межнационального общения. Греки - воины, чиновники, ремесленники, торговцы, рассеянные на обширных территориях эллинистического мира, преодолевали полисную ограниченность своих взглядов. В их среде получило широкое распространение новое мировоззрение - космополитизм (от греческого слова «космополитес» - «гражданин мира»). Знания, накопленные в Греции и на древнем Востоке, в сочетании с успехами и практическим освоением обширных пространств способствовали быстрому развитию наук. В эпоху эллинизма углублялась дифференциация и происходила систематизация наук. Благодаря исследованиям Стратона (III в. до н.э.) появилась наука физика. Выдающийся вклад в развитие математических наук внесли Евклид и Архимед; в развитие астрономии - Аристарх; в создание географии - Эрастофен. Сочетание греческой медицинской теории и практики с древневосточным опытом дало расцвет медицинских знаний в александрийской школе. открыть »

Колумбийская школа социологии

Сегодня существует двадцать три института в США и одиннадцать в других странах, действующих на основе его методик. Университетские курсы по психодраме и социометрии читаются в 14 вузах США и как минимум в 12 вузах других стран. На его счету более 300 опубликованных научных трудов и около десятка созданных им научных журналов, в том числе: «Даймон», «Импромптю», «Социатрия», «Групповая психотерапия и психодрама». В 1956 году он основал «Международный журнал социометрии и социатрии». Выдающимся организатором Колумбийской школы, придавшим ей мировое значение, был Пауль Лазарсфельд. П. Ф. Лазарсфельд Пауль Феликс Лазарсфельд (Lazarsfeld) (1901—1976) — австрийско-американский социолог, внесший значительный вклад в развитие математических методов в социологии. Лазарсфельд был связан с Колумбийским университетом с 1940 г. до своего ухода в отставку в 1969 году. После 1962 г. он возглавлял здесь кафедру имени А. Кетле, которая была создана специально для него по предложению Р. Мертона, а названа так потому, что Лазарсфельд считал Адольфа Кетле создателем эмпирического социального исследования. Не желая бросать преподавание, он и после отставки почти каждую неделю ездил преподавать в Питтсбургский университет, где с ним встречался и имел продолжительные беседы в 1973—1974 гг. автор настоящей работы. открыть »

Культура эпохи античности

Для эллинистической культуры характерно её греческое оформление и глубокие местные традиции. В этот период получил широкое распространение в эллиническом мире общегреческий язык — койне, ставший средством межнационального общения. Греки — воины, чиновники, ремесленники, торговцы, рассеянные на обширных территориях эллинистического мира, преодолевали полисную ограниченность своих взглядов. В их среде получило широкое распространение новое мировоззрение — космополитизм (от греческого слова «космополитес» — «гражданин мира»). Знания, накопленные в Греции и на древнем Востоке, в сочетании с успехами и практическим освоением обширных пространств способствовали быстрому развитию наук. В эпоху эллинизма углублялась дифференциация и происходила систематизация наук. Благодаря исследованиям Стратона (III в. до н. э.) появилась наука физика. Выдающийся вклад в развитие математических наук внесли Евклид и Архимед; в развитие астрономии — Аристарх; в создание географии — Эрастофен. Сочетание греческой медицинской теории и практики с древневосточным опытом дало расцвет медицинских знаний в александрийской школе. открыть »

Нестандартный анализ

Триста лет получится, если считать началом нестандартного анлиза появление символов бесконечно малых dx, dy трактате Лейбница “Новый метод”. Трудно сказать с уверенностью, насколько в действительности Лейбниц был близок к идеям нестандартного анализа. Как пишет сам Робинсон “история предмета обычно пишется в свете его позднейшего развития. Уже более чем полвека все обзоры истории дифференциального и интегрального исчислений основывались на уверенности в том, что понятие бесконечно малых и бесконечно больших, если даже и непротиворечиво, бесполезно для развития анализа. В результате в работах этого периода заметно различие между строгостью, с которой рассматриваются идеи Лейбница и его последователей, и снисходительностью, проявляемой к провозвестникам идеи предела”. Характерно, например, следующее высказывание Анри Лебега от 3 декабря 1926 г. “Бесконечно малые были когда-то туманными сущностями, встречавшимися в неясных и неточных формулировках. Все разъяснилось впоследствии благодаря понятию предела”. Считая, что идеи Лейбница и идеи сторонников понятия предельного перехода мерились двойным стандартом при несправедливом склонении весов правосудия в пользу предела, Робинсон предлагает во многом пересмотреть общую картину возникновения и развития математического анализа от Ньютона и Лейбница до Коши и Вейерштрасса. открыть »

Моделирование как философская проблема

Нейросетевые технологии хорошо зарекомендовали себя в решении всевозможных задач прогнозирования. Они способны решать задачи опираясь на неполную, искаженную, зашумленную и внутренне противоречивую информацию. И как сказал Роберт Хехт-Нильсен: “Не имеет значения, похожи ли на самом деле в работе нейронные сети на мозг. Значение имеет лишь то, что у данных теоретических моделей можно математически обосновать наличие способностей к переработке информации”. Использование математического моделирования в исследованиях экономических систем. Модели агрегированной экономики. Экономико-математическое моделирование является неотъемлемой частью любого исследования в области экономики. Бурное развитие математического анализа, исследования операций, теории вероятностей и математической статистики способствовало формированию различного рода моделей экономики. Почему можно говорить об эффективности применения методов математического моделирования в этой области? Во-первых, экономические объекты различного уровня (начиная с уровня простого предприятия и кончая макроуровнем - экономикой страны или даже мировой экономикой) можно рассматривать с позиций системного подхода. открыть »

Эволюционное развитие экономического анализа хозяйственной деятельности в России с позиций экстернализма

Научные рассуждения были заменены "исключительно сиюминутными желаниями людей, которые стояли (или полагают, что стоят) "у руля". "Экономическим анализом", правда, здесь обозначается не наука как таковая, а "совокупность аналитических или научных аспектов экономической мысли". "Бесплодность" русских экономистов, по мнению зарубежных ученых, была следствием того, что некоторые из правителей, в частности Ленин, Троцкий и даже Сталин, столь пространно и решительно писали по вопросам, изначально относившимся к сфере профессиональной экономической науки. На самом деле "их вклад в развитие экономического анализа пренебрежительно мал". Менее полувека прошло, прежде чем сбылись прогнозы ученых - аналитиков экономической мысли: "Большевистские экономисты "обречены" в конце концов открыть то, что Парето и Бароне открыли полвека назад: существование экономической логики, не содержащей в себе ничего "капиталистического" . Наследие советских экономистов, несколько реставрированное (о чем свидетельствует наличие в университетских программах дисциплин "Экономический анализ" и "Теория экономического анализа"), на взгляд автора, выполнило свою функцию и на сегодняшний день не представляет интереса ни в практическом, ни тем более в научном плане. открыть »

Леонард Эйлер

Мемуары 1757-71 внесли большой вклад в механику сплошных сред (основные уравнения движения идеальной жидкости в форме Эйлера и в т.н. переменных Лангранжа, колебания газа в трубах и т.д.). Обширный цикл работ, начатый в 1748 году, Эйлер посвятил математической физике: задачам о колебании струн, пластинок, мембраны и др. Все эти исследования стимулировали развитие теории дифференциальных уравнений, приближённых методов анализа, специальных функций, дифференциальной геометрии и т. д. Многие чисто математические открытия Эйлера содержатся именно в этих его работах. Главным делом Эйлера, как математика, явилась разработка математического анализа, самые рамки которого он значительно расширил по сравнению со своими предшественниками. Он заложил основы нескольких математических дисциплин, которые только в зачаточном виде имелись или вовсе отсутствовали в исчислении бесконечных малых И.Ньютона, Г.Лейбница и Я. и И. Бернулли. Так, Эйлер первый систематически ввёл в рассмотрение функции комплексного аргумента (Введение в анализ бесконечных" ,Т.1). В частности, он вывел формулы, связывающие тригонометрические функции с показательной (см. прилож. №1), следует заметить, что эта связь была ранее упомянута без доказательства в одной работе Р.Котеса. Работы Эйлера в этом направлении, выяснение им некоторых свойств аналитических функций (уравнение Д`Аламбера-Эйлера, связь с камфорными отображениями) и, наконец, применение мнимых величин к вычислению интегралов положили начало теории функций комплексного переменного. открыть »

Развитие математики в России в XVIII и XIX столетиях

Хотя братья Бернулли составляли уже младшее поколение в этой выдающейся семье, младшее и по силе дарования, Даниил должен быть отнесен все же к числу первоклассных математиков и физиков XVIII столетия. Его "Гидродинамика" представляет собой один из лучших трактатов по этому предмету XVII столетия. В русскую Академию он был приглашен в качестве физиолога. В Петербурге братья Бернулли оставались дольше Германа, но все-таки покинули его в 1733 году. По отношению к русской Академии наибольшей, быть может, заслугой братьев Бернулли было то, что они привлекли туда Леонарда Эйлера. Но и тут математике благоприятствовал случай, так как Эйлер был приглашен на кафедру медицины, которой он усердно занялся, получив приглашение от Бернулли. Кафедру математики он получил после отъезда Даниила Бернулли. Я не буду излагать здесь ученые заслуги Эйлера, отмечу только, что это было время, когда великие идеи Ньютона и Лейбница были опубликованы сравнительно недавно и современный математический анализ только создавался. Мощные методы, которые принесли с собой эти идеи, находили применение во всех отраслях точного знания. Применение это шло рука об руку с развитием самого анализа, часто указывая пути и направления, по которым должно развиваться новое исчисление. открыть »

Лекции по предмету статистика

С другой – под статистикой понимается практическая деятельность по сбору, обработке, анализу данных по различным направлениям общественной жизни. С третьей стороны, статистика – это итоги массового учета, опубликованные в различных сборниках. Наконец, в естественных науках статистикой называются методы и способы оценки соответствия данных массового наблюдения математическим формулам. Таким образом, статистика – это общественная наука, изучающая количественную сторону массовых общественных явлений в неразрывной связи с их качественной стороной. Ученые, внесшие вклад в развитие статистики - Уильям Петти – основатель статистики. Его заслуга в том, что он впервые применил числовой метод для анализа закономерностей общественной жизни. Работа – "Политическая арифметика". - Адольф Кетле – бельгийский статистик. Доказал, что даже кажущиеся случайности общественной жизни обладают внутренней закомерностью и необходимостью. - К.Ф. Герман – русский статистик ("Всеобщая теория статистики"). - В.И. Ленин – теория группировок, теория статистического наблюдения. - Целый ряд других ученых.Предмет статистики Статистика изучает количественно определенные качества массовых социально-экономических явлений. 1 2 3 Существует несколько точек зрения на статистику как на науку: 1) Статистика – это универсальная наука, изучающая массовые явления природы и общества. 2) Статистика – это методологическая наука, разрабатывающая методы исследования для других наук. 3) Статистика – это общественная наука. открыть »

Жан Батист Жозеф Фурье

В ней Фурье вывел дифференциальное уравнение теплопроводности и развил идеи, в самых общих чертах намеченные ранее Д. Бернулли, разработал для решения уравнения теплопроводности при тех или иных заданных граничных условиях метод разделения переменных, который он применял к ряду частных случаев (куб, цилиндр и др.). В основе этого метода лежит представление функций тригонометрическими рядами Фурье, которые хотя и рассматривались иногда ранее, но стали действенным и важным орудием математической физики только у Фурье. Метод разделения переменных получил дальнейшее развитие в трудах С. Пуассона, М.В. Остроградского и других математиков 19 века. «Аналитическая теория тепла» явилась отправным пунктом создания теории тригонометрических рядов и разработки некоторых общих проблем математического анализа. Фурье привел первые примеры разложения в тригонометрические ряды Фурье функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями. Тем самым он внес важный вклад в решение знаменитого спора о понятии функции, в котором учавствовали крупнейшие математики 18-го века. Его попытка доказать возможность разложения в тригонометрический ряд Фурье любой произвольной функции была неудачна, но положила начало большому циклу исследований, посвященных проблеме представимости функций тригонометрическими рядами (П. Дирихле, Н.И. Лобачевский, Б. Риман и др.). С этими исследованиями было в значительной мере связано возникновение теории множеств и теории функций действительного переменного. открыть »

История развития понятия "функция"

Для обозначения произвольной функции от x Бернулли применил знак j(x), называя характеристикой функции, а также буквы x или e; Лейбниц употреблял x1, x2 вместо современных f1(x), f2(x). Эйлер обозначил через f: y, f: (x y) то, что мы ныне обозначаем через f(x), f(x y). Наряду с этим Эйлер предлагает использовать буквы F, Y и другие. Даламбер сделал шаг вперед на пути к современным обозначениям, отбрасывая двоеточие Эйлера; он пишет, например, j , j ( s). Окончательную формулировку определения функции с аналитической точки зрения сделал в 1748 году ученик Бернулли Эйлер (во "Введении в анализ бесконечного"): "Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств". Так понимали функцию на протяжении почти всего 18 века Даламбер (1717 – 1783), Лагранж (1736 – 1813), Фурье (1768 – 1830) и другие видные математики. Что касается Эйлера, то он не всегда придерживался вышеуказанного определения; в его работах понятие функции подвергалось дальнейшему развитию в соответствии с запросами математического анализа. открыть »

Американская школа менеджмента

Решение задач текущей хозяйственной практики, необходимых для принятия управленческих решений: разработка плана производства, графика поставок ресурсов и отгрузки продукции, обоснование использования кредита и др. Исторически одной из первых экономических моделей макроуровня является таблица Ф. Кенэ (1758 г.). Здесь была представлена количественная взаимосвязь отраслей народного хозяйства. Развитие этих идей привело позднее к созданию в СССР первого в мире баланса народного хозяйства (за 1923/24 гг.). В 30-х годах В.В. Леонтьев применил метод анализа межотраслевых связей с помощью таблиц шахматного типа и аппарата линейной алгебры для исследования структуры американской экономики. Позднее его ученица А. Картер использовала этот метод (он получил название «затраты – выпуск») для изучения взаимосвязей национальных экономик. А. Курно (1838) рассмотрел математическую теорию монопольной цены. Г. Госян положил начало математическому изучению личного потребления (ввел понятие предельной полезности). Развернутая разработка этих теорий была дана М. Вальрасом. Важный вклад в развитие этого подхода внесли Л.В. Канторович (линейное программирование), Дж. Дебре, К. Арроу, Дж. фон Нейман1. Процессный подход Управление рассматривается здесь как процесс выполнения управленческих функций для достижения поставленных целей. открыть »

Вклад российских ученых в развитие мировой экономической мысли

Идеи Канторовича предусматривали использование в практике хозяйствования рыночных категорий. За создание теории линейного программирования ему была присуждена в 1975 г. Нобелевская премия в области экономики. Во второй половине 50-х – в начале 60-х гг. в России создается отечественная экономическая школа. Самое активное участие в этом принимали наряду с Л.В. Канторовичем экономисты с мировым именем В.В. Новожилов (1892–1970) и B.C. Немчинов (1894–1964). Опираясь на методы линейного программирования, они разработали систему оптимального функционирования экономики (СОФЭ) и выдвинули идею перехода от концепции оптимального планирования к теории оптимального функционирования народного хозяйства. В.В. Новожилов в анализ цен равновесия ввел фактор дефицитности товаров, а также сбалансированности товарной и денежной массы. B.C. Немчинов в конце 50-х гг. организовал первую в СССР лабораторию экономико-математических методов. Под его руководством велось экономическое обоснование освоения природных ресурсов восточных районов страны. Он внес большой вклад в развитие статистики социальной и экономической структуры общества. открыть »

Москва в истории науки и техники

Исследования в них ведутся нередко на междисциплинарной основе, одновременно по нескольким крупным направлениям. При этом осуществляются все виды научно-исследовательских работ, начиная от фундаментальных и кончая сугубо прикладными. Значительные объемы исследовательских работ выполняются на кафедрах, факультетах и в научных подразделениях многих московских вузов, в особенности таких, как МГУ им.М.В.Ломоносова, МГТУ им. Н.Э.Баумана, МАИ, МЭИ, МИФИ, РГГУ и др. Московские ученые внесли и продолжают вносить большой вклад в развитие отечественной и мировой науки . Подробнее о некоторых из них см. в статьях В.П.Визгина, С.С.Демидова В.А.Есакова, Г.М.Идлиса, С.С.Илизарова, Э.Н.Мирзояна, И.А.Резанова, Ю.И.Соловьева, М.Г.Ярошевского и некоторых других, опубликованных в книге: "Москва научная" (М., 1997). В области математики значительные результаты получены в теории функций (труды Н.Н.Лузина и его учеников), в теории дифференциальных уравнений и математическом анализе, теории вероятностей, алгебре, топологии, математической логике, теории информации, теории оптимального управления, (работы А.Н.Колмогорова, И.Г.Петровского, Л.С.Понтрягина, С.Л.Соболева и др.). Крупный вклад в прикладную математику внесли М.В.Келдыш, С.А.Христианович и другие ученые. открыть »