Теория вероятностей. От Паскаля до Колмогорова

Для теории вероятностей и математической статистики большое значение имеют соображения Галилея по поводу теории ошибок наблюдений. До него никто этим не занимался. Таким образом, все, что он написал ан эту тему ново для его времени и важно даже в наши дни. Свои мысли и выводы он достаточно подробно изложил в одном из основных своих произведений: «Диалог о двух главнейших системах мира птолемеевой и коперниковой». 3. Вклад Паскаля и Ферма в развитие теории вероятностей Обычно считают, что теория вероятностей зародилась в переписке двух великих ученых Б. Паскаля (1623–1662) и П. Ферма (1601–1665). От этой переписки сохранились лишь три письма Паскаля и четыре письма Ферма. В этой переписке еще отсутствует понятие вероятности, и оба ученых ограничиваются рассмотрением числа благоприятствующих событию шансов. У этих авторов впервые в истории имеется правильное решение задачи о разделе ставки, которая отняла много усилий у исследователей в течение длительного времени. Оба они исходили из одной и той же идеи: раздела ставки в отношении, пропорциональном вероятностям окончательного выигрыша каждого игрока. В предложенных ими решениях можно увидеть зачатки использования математического ожидания и теорем о сложении и умножении вероятностей. Это был серьезный шаг в создании предпосылок и интересов к задачам теоретико-вероятностного характера. Второй шаг был сделан также Паскалем, когда он существенно продвинул развитие комбинаторики и указал на ее значение для зарождающейся теории вероятностей. Толчком к появлению интересов Паскаля к задачам, приведшим к теории вероятностей, послужили встречи и беседы с придворным французского королевского двора шевалье де Мере, который интересовался литературой, философией и одновременно был страстным игроком. В этой страсти были истоки тех задач, которые он предложил Паскалю. Сколько раз нужно подбросить две кости, чтобы число случаев, благоприятствующих выпадению хотя бы раз двух шестерок, было больше, чем число случаев, когда ни при одном бросании не появляются две шестерки одновременно? Как нужно разделить ставки между игроками, когда они прекратили игру, не набрав необходимого для выигрыша числа очков? Основное содержание писем Паскаля и Ферма посвящено разделу ставки. Решение Паскаля подробно излагается в письме: «Вот примерно, что я делаю для определения стоимости каждой партии, когда два игрока играют, например, на три партии и каждым вложено по 32 пистоля. Предположим, что один выиграл две партии, а другой одну. Они играют еще одну партию, и если выигрывает первый, то он получает всю сумму в 64 пистоля, вложенную в игру; если же эту партию выигрывает второй, то каждый игрок будет иметь по две выигранных партии и, следовательно, если они намерены произвести раздел, то каждый должен получить обратно свой вклад в 32 пистоля. Примите же во внимание, монсеньер, что если первый выиграет, то ему причитается 64; если он проигрывает, то ему причитается 32. Если же игроки не намерены рисковать на эту партию, и хотят произвести раздел, то первый должен сказать: «Я имею 32 пистоля верных, ибо в случае проигрыша я их все равно получил бы, но остальные 32 пистоля могут быть получены либо мной, либо Вами, случайности равны.

И то, что не дано вывести a priori, то, по крайней мере, можно получить a pos eriori, т.е. из многократного наблюдения результатов в подобных примерах Ибо, если, например, при наблюдениях, сделанных некогда над тремя сотнями людей того же возраста и сложения, в каких находится теперь Тит, было замечено, что из них двести до истечения 10 лет умерли, а остальные остались в живых и дальше, то можно заключить с достаточным основанием, что имеется вдвое больше случаев Титу умереть в течение ближайшего десятилетия, чем остаться в живых по истечении этого срока Этот опытный способ определения числа случаев по наблюдениям не нов и не необычен». Важно подчеркнуть, что в высказанных отрывках достаточно четко прослеживается мысль о статистическом определении вероятности. Таким образом, в трактате Бернулли присутствуют обе концепции вероятности классическая и статистическая. Обе они изложены не очень четко, но они уже введены в рассмотрение и использованы. Введено в рассмотрение понятие вероятности случайного события, как числа, заключенного между 0 и 1. Достоверному событию приписывается максимально возможное значение вероятности единица, а невозможному минимальное ноль. Кроме того, было ясно сказано, что это число может быть определено двумя различными способами: путем подсчета числа равновозможных случаев, которые благоприятствуют событию, и всех возможных случаев и вычисления их отношения или же путем проведения большого числа независимых испытаний и вычисления частоты события. Монмор в своей книге «Обзор анализа азартных игр» использовал введенное Бернулли понятие вероятности и применил его к решению достаточно сложных задач. В частности Монмор рассмотрел и правильно решил следующую задачу: имеется предметов, пронумерованных числами от 1 до . Спрашивается, чему равна вероятность того, что при последовательном вынимании этих предметов наудачу (без возвращения) хотя бы один предмет будет вынут так, что номер вынимания совпадет с присвоенным ему номером. Эта вероятность оказалась равной . А. Муавр принял классическое определение вероятности, данное Бернулли, и вероятность события определил в точности так, как это делаем мы теперь. Он писал: «Следовательно, мы строим дробь, числитель которой будет число случаев появления события, а знаменатель число всех случаев, при которых оно может появиться или не появиться, такая дробь будет выражать действительную вероятность его появления». Муавр, как и Бернулли не заострял внимание на то, что шансы должны быть равновероятными. Это замечание впервые было введено в определение классической вероятности лишь П. Лапласом в его «Аналитической теории вероятностей». Лагранж об этом еще не задумывался и давал определение вероятности в точности по Муавру. По-видимому, на Лапласа повлияла дискуссия, начатая Д`Аламбером, который при решении задачи о вероятности выпадения (при бросании двух монет) герба на одной из монет и решки на другой, определил ее равной 1/3. Это он мотивировал тем, что имеется лишь три возможности: 1) на обеих монетах выпадает герб; 2) на обеих монетах выпадает решка; 3) на одной монете выпадает герб, а на другой решка. 7. Формирование понятия геометрической вероятности Уже в первой половине 18 века выяснилось, что классическое понятие вероятности имеет ограниченную область применений и возникают ситуации, когда оно не действует, а потому необходимо какое-то естественное его расширение.

Рассмотрение решений этих ученых ясно показывает, что все они владели приемами оперирования с вероятностями сложных событий. Практически они безукоризненно точно использовали теоремы сложения и умножения вероятностей, а также формулу полной вероятности, хотя в ту пору они еще не получили точной формулировки. Происходило накопление опыта и выделение тех правил, которые постоянно необходимы при подсчете вероятностей сложных событий. 10. Возникновение предельных теорем теории вероятностей На последующее развитие теории вероятностей огромное воздействие оказала идея, впервые высказанная и осуществленная Я. Бернулли рассматривать не только точные решения задач теории вероятностей, но и их асимптотические постановки при неограниченном увеличении некоторого параметра. В первую очередь следует указать на закон больших чисел в форме Я. Бернулли. Именно он послужил источником для различного рода уточнений как в 18-ом веке, так и в последующие столетия. Я. Бернулли дал формулировку своей теоремы в отличном от принятого теперь виде, использовал для обозначения испытаний, при которых интересующее нас событие происходит, слова «плодовитый», «фертильный», а для противоположных исходов слово «стерильный». «Пусть число фертильных случаев к числу стерильных случаев относится точно или приближенно как или же это число относится к числу всех случаев как или же как . Последнее отношение находится, следовательно, между и . Нужно доказать, что можно произвести столь большое число опытов, что число появившихся фертильных наблюдений к числу всех опытов будет больше, чем , и меньше, чем ». Ясно, что эта формулировка лишь словесно отличается от принятой теперь. Книга «Искусство предложений» Я. Бернулли быта тщательно изучена его племянником Н. Бернулли. В его работе «О применении искусства предположений в вопросах прав», исходя из таблиц Граунта, он изучал вопрос о вероятности дожития до определенного возраста. На основании долголетних регистраций рождений он отметил тот факт, что мальчиков рождается больше, чем девочек. При этом отношение числа рождений мальчиков к числу рождений девочек оказывается, как он считал, равным 18:17. Далее Н. Бернулли рассмотрел пример, когда имеется 14 000 рождений. Тогда, согласно формулам Н. Бернулли, имеет место равенство ( означает фактическое число рождений мальчиков) Фактическое число рождений мальчиков зависит от случая. Приведенная формула позволяет вычислить вероятность того, что число рождений мальчиков будет заключено в указанных границах. Однако вычисления, которые при этом необходимо произвести, сложны. В точности этот пример рассмотрен Лапласом в «Аналитической теории вероятностей». В качестве искомого значения вероятности неравенства Лаплас указал величину 0.994303. В двух последних изданиях книги Муавра «Доктрина шансов» был помещен перевод его статьи 1733 г. Согласно словам самого автора «Я помещаю здесь перевод моей работы, написанной 12 ноября 1733 года и сообщенной некоторым друзьям, но никогда не публиковавшейся». В кратком введении Муавр отметил, что для решения ряда задач теории вероятностей необходимо подсчитывать суммы членов биномиального распределения и что вычисления становятся громоздкими при больших значениях числа испытаний.

Паскаль

Время создания «Рассуждения...» не установлено, а опубликовано оно было лишь в XVIII веке, поэтому считается, что работа Галилея никак не повлияла на основателей теории вероятностей Паскаля и Ферма. «Наука о вероятности родилась, пишет известный математик Пойа, когда Паскаль и Ферма начали изучать азартные игры». Во времена Людовика XIII азартные игры стали подлинной общественной страстью, которая заставляла скучающих аристократов и богатеющих буржуа проигрывать целые состояния. Появлялись даже подпольные игорные дома, эти «новые публичные академии, где в подражание знати говорят лишь об игре на пистоли» и где, «кроме разорения множества семейств, совершаются бесконечные злодеяния». Несмотря на королевские указы и большие штрафы (около десяти тысяч ливров), подобные дома продолжали процветать. В этих домах и аристократических особняках возникали одинаковые затруднения, вызывавшие бурные споры. Среди них встречались и две задачи, предложенные Блезу кавалером де Мере. Первая задача довольно проста, и ее решили одновременно Паскаль, Ферма, Роберваль и сам де Мере ... »

Блез Паскаль. Его жизнь, научная и философская деятельность

Итак, первое применение треугольника Паскаля состоит в том, что он позволяет почти мгновенно вычислять довольно сложные суммы. В теории вероятностей треугольник Паскаля также заменяет сложные алгебраические формулы. При решении задач, относящихся к теории вероятностей, Паскалю пришлось искать суммы чисел, идущих на нашей фигуре от одной римской цифры до другой такой же цифры в косвенном направлении (по диагонали), например, 1+2+1, 1+3+3+1 и т.Pд. Исследование этих чисел навело Паскаля на решение частного случая задачи, известной под именем бинома Ньютона. Таким образом, Паскаль задолго до Ньютона открыл способ возвышать двучлен в целую положительную степень; Ньютон обобщил этот результат, распространив его на любые степени и дав ему алгебраическую форму. Теория треугольника Паскаля еще ждет дальнейших исследований, могущих внести значительные упрощения в разные области математики. ГЛАВА VII Второе обращение Паскаля.P Его завещание.P Был ли Паскаль сумасшедшим!P Янсенисты.P Пор-Рояль.P Влияние Жаклины на брата Еще в октябре 1654 года Паскаль вел деятельную переписку с Ферма по вопросам, касавшимся теории вероятностей; несколько недель спустя с Паскалем произошло событие, несомненно повлиявшее на него весьма сильно ... »

Математическая кунсткамера /кое-что из истории геометрии/

Это-то число и называют мерой Лебега множества Х. После создания понятия меры Лебега оказалось, что для нее нет никаких осложнений, причем по Лебегу можно измерить все встретившиеся до того в науке множества. Позднее были построены примеры неизмеримых множеств, но они используют так называемую аксиому выбора, о которой будет идти речь ниже. Построенные с ее помощью примеры не являются конструктивными. Поэтому можно сказать, что Лебег решил проблему измерения всех множеств, которые могут встретиться в практической работе математиков. С помощью введенного им понятия меры Лебег сумел найти интегралы всех разрывных функций, которые можно было построить известными в то время методами (интеграл Лебега). Триумф идей Лебега привел к тому, что даже один из вождей математиков – классиков Гастон Дарбу изменил свое мнение и, выступая в 1908г. на Математическом конгрессе в Риме, говорил о пламенном и пытливом духе математики ХХ в., о науке, ведущей свои изыскания в абсолютно новой области с неизведанными перспективами. Он подчеркнул, что наука ХХ в. не боится атаковать основы построений, которые столь долго казались непоколебимыми. Позднее идеи, приведшие к созданию меры и интеграла Лебега, позволили А. Н. Колмогорову построить аксиоматику теории вероятностей, а Норберту Винеру – определить понятия меры и интеграла для пространств, состоящих из функций. открыть »

История зарубежной философии

Философ, считавший, что истина присуща языку - это: А) Гоббс Б) Паскаль В) Вико Г) Августин 67. Истина является свойством языка, а не свойством вещей-это утверждение принадлежит: А) Гоббсу Б) Декарту В) Спинозе Г) Паскалю 68. Гоббс говорил, что истина - это свойство: А) языка Б) души В) сердца Г) мыслящей субстанции 69. В учении этого мыслителя философия разделялась на философию природы и философию государства: А) Гоббс Б) Спиноза В) Декарт Г) Лейбниц 70.Гоббс разделил философию на: А) философию природы и философию государства Б) на этику и первофилософию В) политику и социологию Г) физику, этику и диалектику 1. Основные понятия гоббсовской философии природы - это: А) причина, действие, возможность и действительность Б) инерция, масса, вес В) сохранение энергии Г) гравитация, теория вероятности 2. Гоббс утверждал, что человек - это: А) часть природы Б) микрокосм В) частица вселенной Г) смеющееся животное 3. Понятие естественного закона было впервые проработано философом: А) Гоббсом Б) Спинозой В) Марксом Г) Лейбницем 4 ... »

Вероятность случайного события

Для трех пассажиров 4 4 4=64 вариантов выхода. Итак, , это число всех возможных равновероятных (по допущению) способов выхода пассажиров из лифта, один и только один из которых будет реализован в результате испытания. Число вариантов определяющих интересующее нас событие, то есть равно 4 3 2 исходов, . Так как на каждом этаже должно выйти не более одного пассажира, то у первого выходящего имеется 4 варианта выхода (на любом, кроме первого, этаже), у второго – только 3 варианта, так как один вариант использовал первый пассажир, у третьего – только 2 способа. Окончательно: вероятность события А равна . Зарождение теории вероятностей и формирование первых понятий этой ветви математики произошло в середине 17 века, когда Паскаль, Ферма, Бернулли попытались осуществить анализ задач связанных с азартными играми новыми методами. Скоро стало ясно, что возникающая теория найдет широкий круг применения для решения многих задач возникающих в различных сферах деятельности человека. Список литературы В.Е. Гмурман Теория вероятностей и математическая статистика. М., ВШ, 1977. Л.В. Тарасов Мир, построенный на вероятности. М., Пр., 1984. открыть »

Теория вероятностей

Лингвистическая Гимназия №13 Реферат на тему: «Теория Вероятностей» Исполнитель: Красовский Николай Руководитель: Ткаченко Галина Ивановна Екатеринбург, 1998 год Оглавление Страница Введение 21.Алгебра Бейеса .6 4.Формула полной вероятности .65.Пример задачи для формулы полной вероятности 86.Пример задачи для формулы Бейеса . 87.Геометрические вероятности 10 Теория Вероятностей Введение Теория вероятностей является одним из классических разделов математики. Она имеет длительную историю. Основы этого раздела науки были заложены великими математиками. Назову, например, Ферма, Бернулли, Паскаля. Позднее развитие теории вероятностей определились в работах многих ученых. Большой вклад в теорию вероятностей внесли ученые нашей страны: П.Л.Чебышев, А.М.Ляпунов, А.А.Марков, А.Н.Колмогоров. Вероятностные и статистические методы в настоящее время глубоко проникли в приложения. Они используются в физике, технике, экономке, биологии и медицине. Особенно возросла их роль в связи с развитием вычислительной техники. Например, для изучения физических явлений производят наблюдения или опыты. открыть »

Математизация науки и ее возможности

А почему бы не попробывать их решить, используя математические методы, которые в своей области успешно срабатывают? Ведь в справедливости доказанных геометрических теорем никто не сомневается, а правильное решение какой-либо задачи не вызывает споров.Свои размышления Декарт изложил в работе “Рассуждение о методе, чтобы верно направлять свой разум и отыскивать истину в науках”. Примерно в то же время два других французских математика, Б. Паскаль и П. Ферма, закладывают основы теории вероятности – важной области для математических приложений. Настоящей революцией в математике и ее приложениях стало открытие дифференциального и интегрального исчисления И.Ньютоном и Г.Лейбницем. Это стало началом широкого проникновения математических методов в физику, механику и астрономию. Основная идея этого метода – идея предела переменной величины – берет свое начало еще в трудах Архимеда, Демокрита и других древнегреческих ученых. Но всю его мощь оценили лишь после введения удобной системы обозначений и метода координат – чего у древних греков не было. Почему же этот метод стал таким плодотворным именно для физических приложений? Дело в том, что характерной особенностью почти всех физических процессов является наличие непрерывного движения, изменения во времени некоторых числовых параметров, а пределы (а с ними и интегралы и производные) как раз и есть важнейший инструмент для исследования непрерывных функций. открыть »

Укрощенный хаос: истоки риск-менеджмента

Он поставил вопрос, как разделить между двумя игроками банк в неоконченной азартной игре, если один из игроков в этот момент выигрывает. Математикам была уже известна эта задача, которую сформулировал лет за двести до этого монах Лука Пацциоли, знаменитый тем, что привлек внимание тогдашних дельцов к двойной бухгалтерии и обучил таблице умножения Леонардо да Винчи. Паскаль обратился за помощью к Пьеру де Ферма, адвокату и блестящему математику. Результат их сотрудничества произвел в интеллектуальном мире эффект разорвавшейся бомбы. Случилось так, что анализ распространенной в XVII веке игры ( rivial Pursui ) привел к открытию теории вероятностей, ставшей математической основой теории риска. Полученное решение головоломки Пацциоли означало, что человек впервые смог в ситуации с неоднозначно определенным исходом принимать решения и предвидеть будущее с помощью чисел. В Средневековье и Древнем мире, так же как в первобытных и земледельческих обществах, люди, сталкиваясь с проблемой выбора, принимали решения без четкого понимания риска, или природы принятия решения. открыть »

Методы оценки близости допредельных и предельных распределений статистик

В частности, естественно ожидать, что распределения результатов наблюдений несколько отличаются друг от друга, а сами результаты связаны между собой, хотя и слабо. И эти ожидания во многих конкретных случаях оправдываются (в терминах конкретной прикладной ситуации см. об этом, например, в монографии ). Итак, первый этап - переход от реальной ситуации к математической модели. Далее - неожиданность: на настоящем этапе своего развития математическая теория статистики зачастую не позволяет провести необходимые исследования для имеющихся объемов выборок. Более того, отдельные математики пытаются оправдать свой отрыв от практики соображениями о структуре этой теории, на первый взгляд убедительными. Неосторожная давняя фраза Б. В. Гнеденко и А. Н. Колмогорова: "Познавательная ценность теории вероятностей раскрывается только предельными теоремами" взята на вооружение и более близкими к нам по времени авторами. Так, И. А. Ибрагимов и Р. З. Хасьминский пишут: "Решение неасимптотических задач оценивания, хотя и весьма важное само по себе, как правило, не может являться объектом достаточно общей математической теории. открыть »

Вклад ученого в теорию связи

В создании статистических методов анализа радиотехнических систем существенную роль сыграла одна из самых замечательных работ А.Н. Колмогорова «Об аналитических методах в теории вероятностей», о которой П. С. Александров и А. Я. Хинчин написали так: «Во всей теории вероятностей ХХ столетия трудно указать другое исследование, которое оказалось бы столь же основополагающим для дальнейшего развития науки и ее приложений, как эта работа Андрея Николаевича. В наши дни из нее развилась обширная область учения о вероятностях – теория случайных процессов, по своему объему и количеству приложений могущая соперничать с «классическими» частями теории вероятностей. Управляющие марковскими процессами дифференциальные «уравнения Колмогорова», строго и во всей широте математически обоснованные, содержали в себе в качестве частных случаев все те уравнения (Смолуховского, Чэпмена, Фоккера-Планка и др.), которые до тех пор кустарно, без достаточного основания и четкого выяснения лежащих в их основе предпосылок выводились и применялись физиками по отдельным поводам». открыть »

Теорема Ферма: история и доказательства

Главным вкладом Ферма в алгебру явилась развитая им теория соединений или, как её ещё называют, комбинаторика. Отдельные задачи теории соединений были решены уже в древности греками и индийцами, но научная постановка этих вопросов возникла лишь в XVII веке в работах Ферма и его современника, знаменитого французского философа, математика и физика Блеза Паскаля. Исходя из основ комбинаторики, эти два учёных и положили начало новой математической науке, называемой теорией вероятностей, получившей в XVIII веке значительную теоретическую базу, при этом она стала получать всё большее распространение и использоваться в различных областях науки и практической деятельности. Прежде всего, она была применима к вопросам страхования, а в дальнейшем область её применения всё расширялась и расширялась. Много внимания Ферма также уделял и вопросу о магических квадратах. Эти квадраты сначала стали известны индийцам и арабам, и уже только в эпоху средних веков они появились в Западной Европе. Различные математики заинтересовались исследованиями их свойств, это содействовало развитию некоторых математических теорий. открыть »

Великие математики второй половины XVII столетия

В частности, среди ближайших предшественников Паскаля и Ферма — Тарталья и Галилей. Но решение таких вопросов могло стать поводом для создания особой теории, затем целой математической дисциплины только под влиянием серьезных запросов практики Блез Паскаль был сыном Этьена Паскаля, корреспондента Мерсенна; кривая “улитка Паскаля” названа в честь Этьена. Блез быстро развивался под присмотром своего отца, и уже в шестнадцатилетнем возрасте он открыл “теорему Паскаля” о шестиугольнике, вписанном в коническое сечение. Эта теорема была опубликована в 1641 г. на одном листе бумаги и повлияла на Дезарга. Через несколько лет Паскаль изобрел счетную машину. Когда ему было двадцать пять лет, он решил поселиться как янсенист в монастыре Пор-Рояль и вести жизнь аскета, но продолжал при этом уделять время науке и литературе. Его трактат об “арифметическом треугольнике”, образованном биномиальными коэффициентами и имеющем применение в теории вероятностей, появился посмертно в 1664 г. Мы уже упоминали о его работах по интегрированию и о его идеях относительно бесконечного и бесконечно малого, которые оказали влияние на Лейбница. открыть »

Вклад А.Н. Колмогорова в развитие теории вероятностей

Она и стала областью совместной деятельности учёных. Наука «о случае» ещё со времён Чебышева являлась как бы русской национальной наукой. Её успехи преумножили многие советские математики, но современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем в 1929 и окончательно в 1933. Своей работой - Основные понятия теории вероятностей, опубликованной в 1933 году на немецком и русском языках, А.Н. Колмогоров по существу заложил фундамент современной теории вероятности, основанной на теории меры. Андрей Николаевич до конца своих дней считал теорию вероятностей главной своей специальностью, хотя областей математики, в которых он работал, можно насчитать добрых два десятка. Но тогда только начиналась дорога Колмогорова и его друзей в науке. Они много работали, но не теряли чувства юмора. В шутку называли уравнения с частными производными «уравнениями с несчастными производными», такой специальный термин, как конечные разности, переиначивался в «разные конечности», а теория вероятностей – в «теорию неприятностей». открыть »

Языкознание в системе наук

Современные инструментальные методы экспериментальной фонетики связаны с применением различных приборов, главным образом электроакустических (спектрографы, интонографы и тому подобное), а также регистрирующие движения органов речи (артикуляцию). Фонетика поэтому особенно тесно связана с физикой и физиологией. Технические задачи, связанные с увеличением эффективного использования каналов передачи речевой информации и с устным общением с ЭВМ и работами, представляют собой практически наиболее важные области прикладного Языкознания, где проводится исследования речи и вычисление её статических характеристик методами математической теории информации, разработанной академиком А. Н. Колмогоровым и американским математиком К. Шенноном. Связь Языкознания с теорией информации, стимул для изучения которой дали технические приложения Языкознания, вместе с тем приводит к четкой формулировке существенных проблем, связанных с характером акта общения и с социальными функциями языка. За свойственным некоторым направлениям Языкознания первой половины 20 века сосредоточением только на изучение языка как «предмета в самом себе» с середины 20 века следует сближение Языкознания с физико-математическими науками, в частности с математикой; возникает особая область математики – математическая лингвистика, включающая математическую формальную (алгебраическую) теорию грамматик и статистическую теорию языка (использующую методы математической статистики, теории вероятностей и теории информации). открыть »

Великая теорема Ферма

Пьер де ФЕРМА Pierre de Ferma , 1601–65 Французский математик и юрист. Родился в Бомон-де-Ломань (Beaumo -de-Lomag e). Изучал право, работал судьей. В свободное время увлекался математикой и внес значительный вклад в развитие различных отраслей этой науки, за что получил прозвище «король любителей». Помимо теории чисел (так называется область математики, к которой относится Великая теорема Ферма) еще до Ньютона разработал многие основы дифференциального исчисления, а совместно с Блезом Паскалем (Blaise Pascal, 1623–62) основал теорию вероятностей. В оптике сформулировал принцип Ферма, согласно которому преломление света на границе двух сред обусловлено различной скоростью распространения света в различных средах. Список литературы открыть »

Комбинаторика

В последние годы методы теории вероятностей все шире и шире проникают в различные области науки и техники, способствуя их прогрессу.Краткая историческая справка. Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, представляли собой попытки создания теории азартных игр (Кардано, Гюйгенс, Паскаль, Ферма и другие в XVI—XVII вв.). Следующий этап развития теории вероятностей связан с именем Якоба Бернулли (1654—1705). Доказанная им теорема, получившая впоследствии название «Закона больших чисел», была первым теоретическим обоснованием накопленных ранее фактов. Дальнейшими успехами теория вероятностей обязана Муавру, Лапласу, Гауссу, Пуассону и др. Новый, наиболее плодотворный период связан с именами П. Л. Чебышева (1821—1894) и его учеников А.А.Маркова(1856—1922) и А. М.Ляпунова (1857—1918). В этот период теория вероятностей становится стройной математической наукой. Ее последующее развитие обязано в первую очередь русским и советским математикам (С. Н. Бернштейн, В. И. Романовский, А. Н. Колмогоров, А. Я. Хинчин, Б. В. Гнеденко, Н. В. Смирнов и др.). В настоящее время ведущая роль в создании новых ветвей теории вероятностей также принадлежит советским математикам.Основные комбинаторные задачи. открыть »

Москва в истории науки и техники

Исследования в них ведутся нередко на междисциплинарной основе, одновременно по нескольким крупным направлениям. При этом осуществляются все виды научно-исследовательских работ, начиная от фундаментальных и кончая сугубо прикладными. Значительные объемы исследовательских работ выполняются на кафедрах, факультетах и в научных подразделениях многих московских вузов, в особенности таких, как МГУ им.М.В.Ломоносова, МГТУ им. Н.Э.Баумана, МАИ, МЭИ, МИФИ, РГГУ и др. Московские ученые внесли и продолжают вносить большой вклад в развитие отечественной и мировой науки . Подробнее о некоторых из них см. в статьях В.П.Визгина, С.С.Демидова В.А.Есакова, Г.М.Идлиса, С.С.Илизарова, Э.Н.Мирзояна, И.А.Резанова, Ю.И.Соловьева, М.Г.Ярошевского и некоторых других, опубликованных в книге: "Москва научная" (М., 1997). В области математики значительные результаты получены в теории функций (труды Н.Н.Лузина и его учеников), в теории дифференциальных уравнений и математическом анализе, теории вероятностей, алгебре, топологии, математической логике, теории информации, теории оптимального управления, (работы А.Н.Колмогорова, И.Г.Петровского, Л.С.Понтрягина, С.Л.Соболева и др.). Крупный вклад в прикладную математику внесли М.В.Келдыш, С.А.Христианович и другие ученые. открыть »

Зарождение науки о закономерностях случайных явлении

И вот для 11 очков мы получим, таким образом, не шесть различных способов, а 1 6 1 3 1 6 1 6 1 3 1 3 = 27. Для суммы же 12 число различных способов будет: 1 6 1 6 1 3 1 3 1 6 1 = 25. Решение порой довольно сложных задач, с которыми обращались заинтересованные лица к Паскалю, Ферма, Гюйгенсу, способствовало разработке основных понятий и общих принципов теории вероятностей, в том числе и правил действия над ними. Отсюда не следует, конечно, заключать, что основоположники теории вероятностей рассматривали азартные игры как единственный или главный предмет разрабатывавшейся ими новой отрасли науки. На развитие теории вероятностей оказали влияние более серьёзные потребности науки и запросы практики, в первую очередь страховое дело, начатое в некоторых странах ещё в 16в. В 16-17вв. учреждение страховых обществ и страхование судов от пожара распространились во многих европейских странах. Азартные игры были для ученых только удобной моделью для решения задач и анализа понятий теории вероятности. Об этом заметил ещё Гюйгенс в своей книге “О расчётах в азартной игре” (1657), которая была первой книгой в мире по теории вероятностей. Он писал: “.при - внимательном изучении предмета читатель заметит, что он занимается не только игрой, а что здесь даются основы глубокой и весьма интересной”. открыть »