Уравнения математической физики

Формула интегрирования по частям (2) , получаем уравнение (1). Пространство замыкание пространства финитных непрерывно дифференцируемых функций в . Если есть . Справедливо и обратное утверждение. Теорема. . Определение. Эквивалентные нормы. Пусть H - гильбертово пространство со скалярным произведением ( . , . ). Скалярное произведение называется эквивалентным ( . , . ) , если : . Из эквивалентности скалярных произведений можно пользоваться любым. Теорема 2. В пространстве можно ввести скалярное произведение по формуле : Надо доказать : Будем считать, что (по теореме Реллиха-Гординга) Имеем противоречие.Теорема доказана.Обобщенное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона. - решение задачи (1)-(2). Возьмем , проинтегрируем и получим : (3) Определение. Функция называется обобщенным решением задачи (1)-(2), если для любой функции выполняется тождество (3). При исследовании обобщенных решений . Лемма. Существует линейный ограниченный оператор -компактный самосопряжённый положительный оператор. По определению : . f -ограничен, следовательно применим теорему Рисса : . Компактность очевидна по теореме Реллиха-Гординга. Теорема. Для любой функции краевой задачи (1) (2). При этом (4) Задача Дирихле для уравнения Пуассона корректна, т.е. существует единственное решение непрерывно зависящее от правой части. Доказательство. Собственные значения и собственные функции оператора Лапласа. называется обобщенной собственной функцией оператора - с условиями Дирихле, соответствующей обобщенному собственному значению , если она удовлетворяет следующему интегральному тождеству : (3) Теорема. 1. Собственные значения задачи (1) (2), являются вещественными, положительными, изолированными, имеют конечную кратность, и : состоящий из собственных функций задачи (1) (2) составляет ортонормированный базис в с эквивалентным скалярным произведением : (4) Доказательство. Интегральное тождество (3) можно записать в виде : Теорема 1. Если - линейный ограниченный самосопряженный оператор, тогда спектр Теорема 2. Пусть - компактный, самосопряженный оператор, тогда состоит из {0} и некоторого (конечного или счетного) множества изолированных собственных значений конечной кратности : {0} всегда принадлежит спектру компактного оператора. Теорема 3. Пусть - копактный, самосопряженный оператор, тогда существует ортонормированный базис в пространстве , состоящий из собственных функций этого оператора : . Значит : . Так как образует ортонормированный базис в образует ортонормированный базис в Краевые условия : (6) (9) Теорема 1. Если однородная краевая задача имеет единственное тривиальное решение, то неоднородное неоднородная краевая задача (1) (2) имеет единственное решение для . 2. Если (3) (4) имеет нетривиальное решение , то (1) (2) разрешима тогда и только тогда, когда для любого w, являющегося решением (5) (6) 3. Задачи (3) (4) и (5) (6) имеют одинаковое число линейно независимых решений.Теорема Фредгольма. Рассмотрим уравнения (12) где I - единичный оператор в H, C - компактный оператор в H. 1. Если однородное уравнение (11) имеет единственное тривиальное решение, то для существует единственное решение уравнения (10). 2. Если уравнение (11) имеет нетривиальное решение, то уравнение (10) разрешимо тогда и только тогда, когда - компактно.

Функция u(x, ) однозначно определяется функциями в любом конусе и, значит, в полупространстве. Теорема единственности. Задача Коши (2)-(3) не может иметь более одного решения. Вопрос существования. Если классическое решение существует, то оно задается формулой Кирхгофа (4): Таким образом, вопрос о существовании классического решениясводится к нахождению условий, налагаемых на функции , при которых функция, стоящая в правой части формулы (4), является решением этой задачи. Получено лишь достаточное условие. Предварительные рассуждения. Введем функцию: определяется . Лемма 1. Пусть функция g и все её производные по пространственным переменным непрерывны до порядка k : , тогда: 1) функция и все её производные вплоть до порядка k по x и непрерывны на множестве удовлетворяет однородному волновому уравнению при и следующим условиям: Доказательство. В (5) перейдем к новой переменной, тогда: Отсюда следует первое утверждение леммы. Применим . Возьмем производные по от . Рассмотрим производную при =0: обозначим : . Используем его для вычисления второй производной по времени: Предствляя этот объемный интеграл в виде повторного интеграла: сначала по сфере, а затем от 0 до , получим равенство: - вследствие формулы (6) справедливо последнее равенство. Лемма доказана. Теорема 2. Пусть: : - дважды непрерывно дифференцируема в ; тогда: решение задачи Коши (2)-(3) существует и дается формулой Кирхгофа (4). Доказательство. Рассмотрим второе слагаемое: Рассмотрим первое слагаемое Начальные условия: - обозначение. В силу леммы 1 G и все её производные по x и до второго порядка включительно непрерывны на множестве Перейдем к F. F непрерывна вместе со всеми производными по x до второго порядка включительно в области , и её первая производная по времени непрерывна в этой области. Вычислим производную F по : - удовлетворяет волновому уравнению: - удовлетворяет однородным начальным условиям: - удовлетворяет волновому уравнению . Замечание. Доказательство теоремы о существовании и единственности классического решения задачи Коши в случае, когда =3, опиралось на интегральное представление функции в виде формулы Кирхгофа. Формулы, аналогичные формуле Кирхгофа, можно вывести для произвольного числа пространственных переменных. Эти формулы дают выражение достаточно гладкой функции u(x, ) через её первые производные и даламбериан в конусе. Пользуясь этим представлением, можно обобщить эти теоремы существования и единственности для произвольного числа переменных ( >3). Замечание. Формулы, аналогичные формулам Кирхгофа для =1 и =2, можно получить из =3 методом спуска.Метод спуска (как из формулы Кирхгофа получить формулы Пуассона и Даламбера). Надо получить формулу Кирхгофа для =2 - формулу Пуассона. Обозначения: Рассмотрим: Получена формула Пуассона: . Введём фундаментальное решение уравнения теплопроводности: Свойства U для уравнения теплопроводности. 1., то такая функция Доказательство. Если выписывать производные функции U, то получится рациональная функция, умноженная на экспоненту, экспонента стремится к 0 быстрее любой рациональной функции, значит, пределы все равны 0, и получена бесконечная гладкость. 3. В качестве упражнения: - формула представления решения задачи Коши для уравнения теплопроводности.

Если функцию умножить на срезающую, то ничего не изменится.Теорема 4. Пусть имеет обобщённые производные , то существует обобщённая производная , такая, что называется пространством Соболева порядка k. . Введём - гильбертово(унитарное, сепарабельное).Теорема 1. - фундаментальная в - может быть равен 0. . Интегральное тождество для Из сильной сходимости следует слабая: Вывод: пространство полное.Свойства пространств Соболева. 1. 3.Если , то - невырожденное, k раз непрерывно дифференцируемое преобразование, отображающее . Пусть . Утверждение. Невырожденная, гладкая замена переменных сохраняет принадлежность функции пространству Соболева. 6.Обозначим - куб со стороной 2a с центром в начале координат. Множество бесконечно дифференцируемых функций замыкания куба является всюду плотным в Доказательство. Раздвинем область, возьмём и будем её аппроксимировать последовательностью бесконечно гладких функций. Оценим: Разбиение единицы. Теорема. Пусть - покрытие замыкания Q, - открытые, тогда: существует конечный набор - финитные, бесконечно дифференцируемые в Используется для локализации свойства: U имеет свойство на путём домножения на - y покрывается множеством покрывается . Из бесконечного покрытия выберем конечное подпокрытие: . Определим: , . Знаменатель в 0 не обращается. Построена - выполняются свойства 1 и 2. Теорема о разбиении единицы доказана.Теорема о продолжении функции. Частный случай - продолжение из прямоугольников. . Лемма 1. 1.Определить функцию. 2.Проверить условие сливания: совпадание значений функции и её производных по до k-го порядка. Доказательство. Определим (3) Значит, функция непрерывна. Теперь - доказательство совпадения производных. . Значит: . Неравенство (1) очевидно через определение нормы в . Замечание: из доказательства и свойства (6) пространств Соболева следует: можно перейти к - пространству Соболева с выполнением этой теоремы, и (1) тоже справедливо. Замечание: в силу того, что множество бесконечно дифференцируемых функций в замыкании куба всюду плотно в пространстве в этом кубе и в силу того, что протсранство Соболева инвариантно относительно невырожденной гладкой замены переменных.Лемма 2. (4)Теорема о продолжении функции. Пусть. Пусть - продолжение f, такая, что: 1) (5) Замечание. Лемма 1 - рассмотрены кубики, в теореме: из Q на Доказательство. нарисуем шар . Пусть в O(z) граница задаётся уравнением - невырожденное преобразование координат. Преобразование: - внутри пространства Соболева. Во что перейдёт множество: Результат преобразования Прообраз куба - криволинейный кубик. Покроем границу кубиками Vi и выберем конечное подпокрытие. ( ju)(y) = u(x(y)) (xVj) - переход от x к y, переход от y к x : Свойства оператора продолжения: 1. F(x) - ограниченный оператор; 2. Т.к. - финитная, то F(x) - финитная на Доказать: F(x)=f(x),если Замечание. Теорема 1 остаётся справедливой для пространств (следует из доказательства). Теорема 2. Пусть - всюду плотно в . Доказательство. Рассмотрим произвольную функцию - ограниченная. F-продолжение f. Так как F - финитная в , то Сепарабельность пространств Соболева. Теорема. Пусть - сепарабельное.

Большая Советская Энциклопедия (ВЛ)

Имеет работы по геометрической теории чисел, квадратурным формулам для функциональных интегралов, методу Монте-Карло, плюрисубгармоническим функциям и др. Государственная премия СССР (1953). Награждён орденом Трудового Красного Знамени и медалями. Соч.: Математические задачи односкоростной теории переноса частиц, М., 1961 («Тр. Математического ин-та АН СССР», т. 61); Методы теории функций многих комплексных переменных, М., 1964; Уравнения математической физики, М., 1967. Б. М. Степанов. В. С. Владимиров. Владимиров Иван Алексеевич Влади'миров Иван Алексеевич [29.12.1869 (10.1.1870), Вильнюс, — 14.12.1947, Ленинград], советский живописец и рисовальщик, заслуженный деятель искусств РСФСР (1946). Учился в петербургской АХ (1891—97) у А. Д. Кившенко и Ф. А. Рубо. Был художественным корреспондентом в период русско-японской (1904—1905), балканских (1912—13) и 1-й мировой войн, участвовал в революционном движении. Член АХРР. Автор жанровых картин, многих военных зарисовок, батальных и историко-революционных картин («Баррикада на Пресне. 1905 год», Музей Революции СССР, Москва; «Долой орла!»', 1917—18, Музей Великой Октябрьской социалистической революции, Ленинград; «Ликвидация врангелевского десанта...», 1932, Третьяковская галерея) ... »

Роль теории дифференциальных уравнений в современной математике и ее приложениях

Таким образом, в теории дифференциальных уравнений ясно прослеживается основная линия развития математики: от конкретного и частного через абстракцию к конкретному и частному. Как уже говорилось, в XVIII и XIX веках изучались в основном конкретные уравнения математической физики. Из общих результатов теории уравнений с частными производными в этот период следует отметить построение теории уравнений с частными производными первого порядка (Монж, Коши, Шарпи) и теорему Ковалевской. Теоремы о существовании аналитического (то есть представимого в виде степенного ряда) решения для обыкновенных дифференциальных уравнений, а также для линейных систем уравнений с частными производными были доказаны ранее Коши (Cauchy, 1789 - 1857). Эти вопросы рассматривались им в нескольких статьях. Но работы Коши не были известны Вейерштрассу, который предложил С.В. Ковалевской изучить вопрос о существовании аналитических решений уравнений с частными производными в качестве докторской диссертации. (Отмечу, что Коши опубликовал 789 статей и большое число монографий; его наследие огромно, поэтому неудивительно, что некоторые его результаты могли остаться некоторое время незамеченными.) С.В. Ковалевская в своей работе опиралась на лекции Вейерштрасса, где рассматривалась задача с начальными условиями для обыкновенных дифференциальных уравнений. открыть »

Большая Советская Энциклопедия (КУ)

Курама Курама', кураминцы, этнографическая группа узбеков, живущая на р. Ангрен к Ю. от Ташкента. В антропологическом типе части К. и некоторых особенностях быта имеются черты сходства с казахами. Кураминский хребет Курами'нский хребе'т, горный хребет на З. Тянь-Шаня, по границе Таджикской ССР и Узбекской ССР. Ограничивает с С.-З. Ферганскую долину. Водораздел бассейн рр. Ангрен и Сырдарьи. Длина около 170 км, высота до 3769 м (г. Бобоиоб). Сложен метаморфическими сланцами, песчаниками и гранитами. Нижние части склонов покрыты полынью и пырейниками, выше — ксерофитные кустарники, грецкий орех (на северном склоне), арчевники, типчаковые степи. Курант Рихард Кура'нт (Courant) Рихард (8.1.1888, Люблинец, Польша, — 27.1.1972, Нью-Йорк), математик. Учился в университетах в Бреслау (Вроцлав) и Цюриха. В 1920—1933 профессор Геттингенского университета, с 1934 профессор Нью-Йоркского университета. Основные результаты относятся к теории конформных отображений, к краевым задачам для уравнений математической физики. Выдающийся педагог и автор многих монографий ... »

Методы численного моделирования МДП-структур

Итерационные методы решения линеаризированных уравнений .17 IV.Заключение .22 середины 60-х гг. начало складываться новое направление в моделировании п/п приборов, предполагающее замену реального объекта его математической моделью, которая впоследствии решается на ЭВМ методами вычислительной математики. Моделью фрагмента твёрдотельной микроэлектронной структуры является система уравнений физики полупроводников, описывающая процессы переноса носителей заряда и распространения потенциала электрического поля в приборе. Такой подход позволяет учесть и исследовать различные нелинейные физические эффекты (Эрли, Кирка и др.) и их влияние на внешние электрические характеристики приборов. Развитие вычислительной техники и появление эффективных численных методов решения уравнений математической физики сделали возможным появление двух и трёхмерных моделей. Необходимость таких моделей обусловлена рядом причин . 1.При анализе приборов с микронными размерами рабочих областей необходим многомерный подход. 2.Во многих современных приборах движение носителей тока имеет двумерный характер. 3.Многомерный анализ позволяет часто в традиционных приборах увидеть новые эффекты. 4.Невозможность внесения исправлений в готовый прибор и неоправданные затраты на совершенствование п/п приборов с помощью многочисленных тестовых итераций делают эффективной и экономически оправданной методологию численного моделирования. открыть »

Большая Советская Энциклопедия (МА)

Современное состояние М. и заслуги научных школ и отдельных учёных отражены в соответствующих статьях. См. Чисел теория , Алгебра , Логика , Геометрия , Топология , Функций теория , Функциональный анализ , Дифференциальные уравнения , Уравнения математической физики , Вероятностей теория , Математическая статистика , Вычислительная математика . Потребности развития самой М., «математизация» различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, быстрый прогресс вычислительной техники приводят к перемещению основных усилий математиков внутри сложившихся разделов М. и к появлению целого ряда новых математических дисциплин (см., например, Алгоритмов теория , Информации теория , Игр теория , Операций исследование , см. также Кибернетика ). На основе задач теории управляющих систем, комбинаторного анализа , графов теории , теории кодирования возникла дискретная, или конечная математика . Вопросы о наилучшем (в том или ином смысле) управлении физическими или механическими системами, описываемыми дифференциальными уравнениями, привели к созданию математической теории оптимального управления , близкие вопросы об управлении объектами в конфликтных ситуациях — к возникновению и развитию теории дифференциальных игр . Исследования в области общих проблем управления и связанных с ними областях М. в соединении с прогрессом вычислительной техники дают основу для автоматизации новых сфер человеческой деятельности. Советская М. занимает передовое место в мировой математической науке ... »

Экзаменационные билеты по предмету: Уравнения математической физики за весенний семестр 2001 года

Что называется интегралом Фурье? Запишите интеграл Фурье для четных и нечетных функций. Определить типы уравнения с частными производными: а) 2uxx-3uxy=0, б) uxx-4uxy 5uyy=0, в) 4uxx 8uxy 4uyy=0. Проверить, являются ли функции y1=si 3?x и y2=cos собственными функциями задачи Штурма-Лиувилля y'' ?y=0, y(0)=у'=0. Найти соответствующие собственные значения, если они существуют. Зав. кафедрой Экзаменационный билет по предмету УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Билет № 6 5) Какой вид имеет первая краевая задача для волнового уравнения? Сформулируйте физическую задачу, приводящую к такой краевой задаче. Как записывается решение смешанной задачи для волнового уравнения на полупрямой? Изобразите фазовую плоскость для этой задачи. Определить типы уравнения с частными производными: а) uxx 2uxy uyy=0, б) 3uxy 4uyy=0, в) 3uxx 2uxy uyy=0. Решить краевую задачу y'' 4y=cosx, y(0)=y=0. Зав. кафедрой Экзаменационный билет по предмету УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Билет № 7 6) Какое начальное условие задается для уравнения теплопроводности? Сформулируйте его физический смысл. открыть »

Физическая модель замкнутой цивилизации

Сфера общественного сознания, как это принято в историческом материализме, считается в данной работе вторичной по отношению к указанным материальным процессам, и присутствует в рассматриваемой физической системе неявно, в виде идеального поля социальных противоречий, существующего только в общественном сознании и в головах отдельных людей. Это идеальное поле математически характеризуется некоторой безразмерной функцией двух переменных P( , ), являющейся решением дифференциального уравнения в частных производных второго порядка, по форме совпадающего с уравнением математической физики, описывающим мгновенное распределение тепла от импульсного теплового источника вдоль бесконечного одномерного материального стержня. Аналогом такого стержня в настоящей работе является временная ось, а аналогом температурного поля стержня – поле социальных противоречий. В заключение данной работы дана механико-геометрическая аналогия общественной эволюции в виде движения геометрической точки по двухмерной поверхности, являющейся абстрактным геометрическим образом функции поля социальных противоречий. открыть »

Гуманитарная роль математики в процессе подготовки учителя

Не случайно известный математик и педагог А.Я. Хинчин считал, что высокий уровень математического мышления является необходимым элементом общей культуры человека . Математика, являясь дисциплиной естественно-научного цикла, представляет своим предметом методологию и язык других дисциплин, связи между идеализированными объектами, далеко не однозначно отражающими реальную действительность. В этом смысле место математики – особое даже среди дисциплин естественно-научного цикла. Математика не только способствует появлению нового знания о природе, обществе и человеке, но и находит в родственных науках реальные стимулы для своего развития. Так, развитие теории локально выпуклых пространств в функциональном анализе стимулировалось физическими проблемами квантовой электродинамики и задачами нахождения обобщенных решений уравнений математической физики, теория неограниченных операторов в банаховом пространстве – проблемами квантовой механики, тензорный анализ – проблемами механики упругих сред, теория функций многих комплексных переменных – проблемами квантовой теории поля и т.п. С другой стороны, в самой математике в последние десятилетия возникли разделы, имеющие относительно самостоятельный предмет и специфические методы исследования: искусственный интеллект и теории массового обслуживания, теория случайных процессов и функциональный анализ, теория игр и математическое программирование, алгебраическая геометрия и теоретико-множественная топология и другие. открыть »

История применения универсальных цифровых вычислительных машин в ядерной и космической программах СССР

Ясно, что для сокращения числа возможных вариантов было необходимо применять математические основы моделирования ядерных взрывов, прежде всего для расчетов мощности ядерных зарядов. Такие расчеты были организованы в ЛИПАН С. Л. Соболевым и в Отделении прикладной математики МИАН (ныне ИПМ им. М. В. Келдыша РАН) А. А. Самарским, еще до появления первых отечественных компьютеров, с помощью бригад расчетчиков на настольных счетно-клавишных машинах. Уже тогда они предложили эффективные алгоритмы численного решения уравнений математической физики, которыми описывались процессы ядерного взрыва. В 1953 г. вышло второе издание монографии А. А. Самарского и А. Н. Тихонова "Уравнения математической физики" , в которой был отражен полученный ими опыт (естественно, без ссылок на расчеты, послужившие источником этого опыта). Поддержка исследований физиков со стороны вычислительной математики оказалась чрезвычайно важной на первой стадии советской ядерной программы, когда коллектив И. В. Курчатова стоял перед необходимостью принимать безошибочные решения. открыть »

Задача обработки решёток

Изв Вузов СССР Сер Радиофизика, 1959, т 2, № 4, с 588 - 601 Андерсеан А Д Рассеяние на цилиндрах с произвольным поверхностным импедансом - ТИИЭР, 1965, т 53, № 8, с 1007-1013 Хенл Х., Мауэ А., Вестпфаль К Теория дифракции - М.: Мир, 1964 - 428 с Марков Г Т., Чаплин А Ф Возбуждение электромагнитных волн - М.: Радио и связь, 1983 - 296 с Арнольд В И Обыкновенные дифференциальные уравнения - М.: Наука, 1984 - 271 с Тихонов А Н., Самарский А А Уравнения математической физики - М.: Наука, 1972 - 735 с Вычислительные методы в электродинамике / Под ред Р Миттры - М.: Мир, 1977 - 485 с Панасюк В В., Саврук М П., Назарчук З Т Метод сингулярных интегральных уравнений в двухмерных задачах дифракции - Киев: Наукова думка, 1984 - 343 с Михлин С Г Вариационные методы в математической физике - М.: Наука, 1970, - 420 с Хижняк Н А Функция Грина уравнений Максвелла для неоднородных сред - ЖТФ, 1958, т 28,№ 7, с 1592 - 1604 Кравцов В В Интегральные уравнения в задачах дифракции - В кн.: Вычислительные методы и программирование - открыть »

Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов

Министерство общего и профессионального образования Сочинский государственный университет туризма и курортного дела Педагогический институт Математический факультет Кафедра общей математики ДИПЛОМНАЯ РАБОТА Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов. Выполнила: студентка 5-го курса дневной формы обучения Специальность 010100 „Математика” Прокофьевой Я. К. Студенческий билет № 95035 Научный руководитель: доцент, канд. техн. наук Позин П.А. Сочи, 2000 г. Глава 1. Уравнения гиперболического типа. §1.1. Задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа. 5 1.1.1. Уравнение колебаний струны. 5 1.1.2. Уравнение электрических колебаний в проводах . 8 §1.2. Метод разделения переменных .10 1.2.1. Уравнение свободных колебаний струны . 10Глава 2. Уравнения параболического типа.§2.1. Задачи, приводящие к уравнениям параболического типа .17 2.1.1. Уравнение распространения тепла в стержне. .17 2.1.2. Распространение тепла в пространстве. 19 §2.2. Температурные волны. .23 Глава 3. Моделирование с помощью дифференциальных уравнений в частных производных. §3.1. Дифракция излучения на сферической частице 29 Заключение .40 Литература .41 ВВЕДЕНИЕ Изучением дифференциальных уравнений в частных производных занимается математическая физика. открыть »

Теплопроводность через сферическую оболочку

Из этого следует, что в общем случае процесс передачи теплоты теплопроводностью в твердом теле сопровождается изменением температуры как в пространстве, так и во времени: — координаты точки; — время. Эта функция определяет температурное поле в рассматриваемом теле. В математической физике температурным полем называют совокупность значений температуры в данный момент времени для всех точек изучаемого пространства, в котором протекает процесс. Если температура тела есть функция координат и времени, то температурное поле называют нестационарным, т.е. зависящим от времени: . (2.2) Такое поле отвечает неустановившемуся тепловому режиму теплопроводности. Если температура тела есть функция только координат и не изменяется с течением времени, то температурное поле тела называют стационарным: . (2.3) Уравнения двухмерного температурного поля для режима стационарного: . (2.5) На практике встречаются задачи, когда температура тела является функцией одной координаты, тогда уравнения одномерного температурного поля для режима стационарного: . (2.7) Одномерной, например, является задача о переносе теплоты в стенке, у которой длину и ширину можно считать бесконечно большой по сравнению с толщиной. 2.2 Градиент температуры Если соединить точки тела с одинаковой температурой, то получим поверхность равных температур, называемую изотермической. открыть »

Моделирование процессов переработки пластмасс

В большинстве случаев в реальных процессах переработки приходится иметь дело с нестационарным режимом теплопроводности, когда полимер подвергают нагреву или охлаждению (например, охлаждение в форме отлитого изделия). Теоретические исследования процесса нестационарной теплопроводности представляют собой обширный раздел математической физики. Решения, получаемые в результате интегрирования уравнения (2.5), представляют собой функции времени и пространственных координат, удовлетворяющие начальным и граничным условиям. Различают четыре рода граничных условий Условия первого рода: задано распределение температур на поверхности, которое может либо быть постоянным, либо зависеть от времени; в простейшем случае, если положение границ определяется одним числом (например, расстоянием L), такие граничные условия математически определяются выражением вида (2.6): (2.6) Условия второго рода: задана плотность теплового потока для каждой точки поверхности тела как функция времени: (2.7) Условия третьего рода: задан коэффициент теплообмена, а на границе и температура контактирующей с граничной поверхностью среды: (2.8) Условия четвертого рода: соответствуют теплообмену тела с окружающей средой по закону теплопроводности или теплообмену системы тел, находящихся в тепловом контакте (температура соприкасающихся поверхностей одинакова): (2.10) Аналитическая теория нестационарной теплопроводности располагает большим набором решений одномерных задач, к которым принято сводить все многообразие задач, встречающихся в инженерной практике. открыть »

История развития понятия функция

Дирак Поль Адриен Морис (1902-1984 гг.) Английский физик-теоретик, один из основателей квантовой механики. Основные труды в математике по функциональному анализу и математической физике (уравнение Дирака, дельта-функция Дирака, статистика Ферми-Дирака). Нобелевская премия (1933). Дирихле Петер Густав Лежен (1805-1859 гг.) Немецкий математик. Основные труды по теории чисел и математическому анализу. Впервые точно сформулировал и исследовал понятие условной сходимости ряда (так называемый признак Дирихле), дал (1829) строгое доказательство возможности разложения в ряд Фурье функций, имеющей конечное число максимумов и минимумов. Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646-1716 гг.) Немецкий математик, физик, философ, изобретатель, историк, языковед. В математике его важнейшей заслугой является разработка (наряду с Ньютоном) дифференциального и интегрального исчисления. Дал определения дифференциала и интеграла, разработал правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного любой постоянной степени, дал определения экстремальных точек и точек перегиба, установил взаимно обратный характер основных операций анализа - дифференцирования и интегрирования. открыть »

Ряды Фурье и их приложения

Если же функция u не зависит ни от z, ни от y, то получаем уравнение - уравнение распространения тепла в стержне. 2?, f(x), ?, ?(x) , (?, ? 2?), ?(x), ·, ?, l, < x ?, x ,?, ?, ?, u (x, ), М1М2 ,? , ? ,?, ?, ?, ?, ?, ?, ?, v, ', ?, ?, k, s, u(x, y, z, ), ? Заключение В этой дипломной работе приведены лишь немногие примеры того как ряды Фурье позволяют решить важные задачи математической физики. Например, некоторыми из них являются задачи на распространения тепла в стержне или колебания струны. Приведены примеры нахождения периодических решений линейных дифференциальных уравнений с помощью рядов Фурье. На небольшом количестве страниц изложен материал, содержащий основные факты теории рядов Фурье. Работа начинается с представления функции в виде тригонометрического ряда, который и является при подставлении в него соответствующих коэффициентов (коэффициентов Фурье) рядом Фурье. Далее рассматриваются некоторые признаки сходимости рядов Фурье, вывод коэффициентов Фурье и их оценка. Представлена комплексная форма рядов Фурье. открыть »

Геофизический “диалект” языка математики

Геофизический “диалект” языка математики В.Н. Страхов Объединенный институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН, г. Москва 1. В 1995 г. в статье “ Геофизика и математика” , см. , автор впервые сформулировал следующее утверждение: математика является языком науки в целом, но каждая конкретная наука должна “ разговаривать” на собственном (специфическом) диалекте этого языка. 2. В XX веке внедрение математических методов в геофизику (“ освоение языка математики” ) шло в основном путем заимствования готовых результатов и методов, прежде всего из математической физики и теории некорректно поставленных задач, но также из теории вероятностей и математической статистики, вычислительной математики, теории дифференциальных и интегральных уравнений. Однако, по мнению автора, эпоха разработки методов постановки и решения задач, возникающих к геофизике на этапе интерпретации данных наблюдений различных элементов физических полей, на основе заимствования результатов и методов, разработанных в различных разделах математики, закончилась. открыть »

Несостоятельность специальной теории относительности Эйнштейна

В рассматриваемом случае сохранение условия ковариантности нарушает закон сохранения энергии. Естественно, что при необходимости сохранения принципа относительности в физике и соответствующей ей разработке нового вида преобразований, при переходе из одной системы отсчёта в другую, опираться придётся все же на закон сохранения энергии, как на основополагающий принцип природы, установленный в экспериментах, а не на изобретённую Лоренцем ковариантность, которая, вероятнее всего, при этом не будет выполняться. Поэтому, ковариантность следует рассматривать не более как математический приём, этакий математический феномен, согласованно преобразующий все члены уравнения так, что его вид остаётся неизменным, но который пока ещё не нашел своей должной физической интерпретации. Как указывалось выше, для реальной, а не математической физики, такой приём просто непригоден, поскольку он противоречит закону сохранения энергии и из него “естественным образом” вытекает возможность создания “вечных двигателей”, то есть получения энергии из ничего. открыть »

Жан Батист Жозеф Фурье

В ней Фурье вывел дифференциальное уравнение теплопроводности и развил идеи, в самых общих чертах намеченные ранее Д. Бернулли, разработал для решения уравнения теплопроводности при тех или иных заданных граничных условиях метод разделения переменных, который он применял к ряду частных случаев (куб, цилиндр и др.). В основе этого метода лежит представление функций тригонометрическими рядами Фурье, которые хотя и рассматривались иногда ранее, но стали действенным и важным орудием математической физики только у Фурье. Метод разделения переменных получил дальнейшее развитие в трудах С. Пуассона, М.В. Остроградского и других математиков 19 века. «Аналитическая теория тепла» явилась отправным пунктом создания теории тригонометрических рядов и разработки некоторых общих проблем математического анализа. Фурье привел первые примеры разложения в тригонометрические ряды Фурье функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями. Тем самым он внес важный вклад в решение знаменитого спора о понятии функции, в котором учавствовали крупнейшие математики 18-го века. Его попытка доказать возможность разложения в тригонометрический ряд Фурье любой произвольной функции была неудачна, но положила начало большому циклу исследований, посвященных проблеме представимости функций тригонометрическими рядами (П. Дирихле, Н.И. Лобачевский, Б. Риман и др.). С этими исследованиями было в значительной мере связано возникновение теории множеств и теории функций действительного переменного. открыть »